OliForum Matematico

Salve a tutti.
Qualcuno di voi, che si intenda un pò di geometria algebrica, saprebbe dirmi dove posso trovare una definizione precisa di curva di diramazione ('branch curve'), di una proiezione di una superficie algebrica ad esempio sul piano proiettivo complesso? Magari con qualche esempio...
Cercato e cercato, ma non ho trovato pressochè nulla, se non trattazioni SULLE curve di diramazione....
Thanx

"curva di ramificazione" credo sia una traduzione più corretta. e comunque, che io sappia, si tratta molto di più di geometria complessa che di geometria algebrica (e comunque l'idea è fondamentale in topologia in dimensione bassa, motivo per cui ne so qualcosa).

data una mappa $ p:X\to Y $ (diciamo olomorfa tra varietà complesse, per comodità) con $ \dim X = \dim Y = n $ tale che i suoi punti critici siano non degeneri (forse non serve, ma probabilmente serve che il corango di $ p $ sia al più 1) il suo branching locus è il luogo dei punti in cui il differenziale non è suriettivo. in alternativa, è il luogo dei punti in cui $ p $ non è localmente iniettiva. si dimostra che (in queste ipotesi, che forse sono un po' troppo restrittive) il luogo di ramificazione è una sottovarietà di codimensione 1, e che localmente intorno ad ogni suo punto la mappa $ p $ si scrive come $ (z_1,\dots,z_n)\mapsto (z_1^k,\dots,z_n) $ per un certo $k$, che si chiama indice di ramificazione (di $ p $ intorno al punto), e che questo $k$ è costante intorno alla componente connessa del luogo di ramificazione.
poi ci sono un po' di amenità, sia per quanto riguarda superfici di riemann (vedi riemann-hurwitz, tanto per citare una cosa carina) sia per quanto riguarda nodi, link & co (ogni 3-varietà chiusa è rivestimento ramificato su un link nella 3-sfera).

comunque, se cerchi "branched covering" dovresti trovare qualcosa.. tipo
http://en.wikipedia.org/wiki/Branched_covering .
in alternativa, sicuramente c'è qualcosa dal punto di vista più topologico sul rolfsen ("knots and links", ma sicuramente non è la referenza standard).

tanto per chiudere, credo che evaristeg possa dirti qualcosa di più di me.

Mmh, "curva di ramificazione" traduce "ramification curve", che è quello che ha definito Marco ed è una curva nella superficie di partenza. La curva di diramazione (branch curve) è semplicemente l'immagine della curva di ramificazione, ed è una curva nella superficie di arrivo.

Credo che avrai più successo cercando "branch locus", che è il termine generale (branch curve è usato solo quando consideri superfici) o "branch divisor".