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Trovare tutte le coppie (m,n) di interi positivi tali che m(m+1)(m+2)=n! Ho trovato un numero finito di soluzioni ma non ho avuto il tempo di dedicarmi alla dimostrazione che non ce ne sono altre. Qualcuno vuole provarci?

Proprio non vi è piaciuto il problema?

Kopernik ha scritto:Trovare tutte le coppie (m,n) di interi positivi tali che m(m+1)(m+2)=n!

Personalmente non ci ho provato, comunque stai tentando di risolvere un'equazione della forma $ x!=y!z! $ dove $ x-y $ è fissato; è un caso speciale del problema di determinare tutti gli $ n! $ che possono essere espressi come prodotto (non banale) di fattoriali più piccoli di esso. (Da qui) "There are no nontrivial identities for $ n \le 18160 $ except $ 9!=7!3!3!2!, 10!=7!6!=7!5!3!, 16!=14!5!2! $.
Qui invece puoi trovare i valori più piccoli di $ n $ per i quali $ n! $ ha una rappresentazione come sopra detta.
Riguardo il tuo, è un sottocaso, per cui non escludo che esista una dimostrazione..reference a riguardo?

Come già successo altre volte, riporto un problema che mi è stato proposto da un mio ex-allievo che ora studia Matematica a Udine. Penso che l'abbia inventato lui, ma non me lo ha detto. So soltanto che si trovano abbastanza facilmente 4 soluzioni, ma forse la dimostrazione che siano uniche (ammesso che esista) è troppo "nontrivial" per questo forum. Comunque, grazie a Jordan per avere risposto e per le informazioni fornite.