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Problema 5


Trovare il piu' piccolo numero a > 1 tale che risulti:
(a +sin x )/(a +sin y) =< e^(y−x) per ogni x =<y.


PS
Rilevo, se non mi sbaglio, comunque una stranezza nella formulazione.

Ma usare latex no?

Trovare il piu' piccolo numero $ ~ a > 1 $ tale che risulti:
$ \displaystyle \frac{a +\sin x}{a +\sin y} \leq e^{y-x} $ per ogni $ ~x \leq y $.

Visto che $ a+\sin y>0 $, si può riscrivere come $ (a+\sin x)e^x\le(a+\sin y)e^y $ per $ x<y $; il che significa che $ f(x)=(a+\sin x)e^x $ deve essere una funzione crescente.
Allora $ \displaystyle f'(x)=\left[a+\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]e^x\ge0\ \ \forall x $, da cui $ a\ge\sqrt 2 $, quindi $ a=\sqrt2 $.