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Sia P un poligono semplice (cio`e tale che da ogni vertice escono esattamente
due lati) non necessariamente convesso, con almeno 4 vertici. Supponiamo
che P abbia al pi`u un vertice concavo.
`E vero che esistono due vertici non consecutivi con la propriet`a che il segmento
che li congiunge `e contenuto in P? Se s´ı dimostrarlo, se no trovare
un controesempio.

beh...mi verrebbe da dire che se consideriamo il vertice A concavo,esste siuramente un segmento interno al poligono ce lo congiunge con ogni altro vertice $ B_i $ tranne quelli adiacenti(per ipotesi convesso),altrimenti se tale segmento fosse esterno al poligono esisterebbe un ulteriore vertice concavo fra A e $ B_i $(per definiione) che va contro l'ipotesi.dove il trucco??

didudo ha scritto:beh...mi verrebbe da dire che se consideriamo il vertice A concavo,esste siuramente un segmento interno al poligono ce lo congiunge con ogni altro vertice $ B_i $ tranne quelli adiacenti(per ipotesi convesso),altrimenti se tale segmento fosse esterno al poligono esisterebbe un ulteriore vertice concavo fra A e $ B_i $(per definiione) che va contro l'ipotesi.dove il trucco??

il trucco c'e' ma e' ben nascosto.

Poligoni intrecciati?

Secondo me poligoni semplici significa proprio non intrecciati anche se la "definizione" che dà il problema, se intende così, presuppone che l'intersezione tra due lati (anche non sugli estremi) in un poligono intrecciato sia un vertice.
Poi si può definire convesso o concavo un poligono intrecciato?

Per definire convesso o concavo un poligono intrecciato effettivamente bisogna prima definire qual è la parte interna del poligono. Comunque il testo del problema parlava di poligoni di cui non si sa se sono concavi o convessi. E' d'altronde vero che in un poligono intrecciato è difficile anche definire se un angolo è interno o esterno (si pensi ad un quadrilatero intrecciato, dunque diviso in due triangoli: se scegliamo come interni i due angoli effettivamente interni in uno dei due triangoli, per la regola della somma degli angoli interni che deve fare 360° siamo portati a scegliere nell'altro triangolo i due angoli che in realtà sono esterni).

Allora dov'è il trucco?

Anér ha scritto:Poligoni intrecciati?

Esatto. Come controesempio, basta considerare un pentagono fatto così:

A........C
|\......./|
|_\__/_|
E...\/...D
......B

Però non abbiamo definito quali angoli sono convessi e quali concavi in un poligono intrecciato, né quali angoli sono interni e quali esterni.

Anér ha scritto:Però non abbiamo definito quali angoli sono convessi e quali concavi in un poligono intrecciato, né quali angoli sono interni e quali esterni.

mah... se servisse, avrebbero dovuto dare la definione gli autori del testo. mentre parlano solo di poligoni "semplici". in ogni caso, qualunque parte si scelga come interna, un segmento tipo DA sta un dentro un po' fuori.

nella mia scelta DB, AC, EB stanno del tutto fuori.