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a) Dimostrare che non esiste alcun polinomio P (X, Y) in due variabili, di grado uno in Y, tale che per ogni numero reale t, si abbia
$ \displaystyle P (cos(t), sen(t)) = 0 $
b) Enunciare formalmente la seguente asserzione: ogni relazione algebrica tra la funzione seno e la funzione coseno deriva dalla formula fondamentale
$ \displaystyle cos^2 (t) + sen^2 (t) = 1 $

Io ho trovato una via, ma non so se umh è corretta:

La tesi è equivalente a $ P(\cos x) = \sin x $ (1). Supponiamo per assurdo che tale $ P $ esista. Derivando otteniamo:

$ -\sin x P'(\cos x) = \cos x $ (2);

combinando (1) e (2) otteniamo:

$ -P(\cos x)P'(\cos x) = \cos x $

Poiché a destra abbiamo un polinomio (con dentro $ \cos x $) di primo grado e a sinistra il polinomio stesso, deduciamo che il polinomio è di primo grado. Sostituendo quindi $ P(\cos x) = a\cos x + b $ e manipolando poco poco otteniamo:

$ \displaystyle \sin x = \frac{\cos x}{a(a\cos x + b)} $

Che non è un polinomio, assurdo.

Qualche anima pia meno ignorante di me puo' controllare questo delirio?

Agi_90 ha scritto: La tesi è equivalente a $ P(\cos x) = \sin x $ (1).

$ P(x,y)=x^2y+3 $ è di primo grado in $ y $, e vale $ \displaystyle\sin{t}=\frac{-3}{\cos{t}^2} $, che direi non è un polinomio in $ \cos{t} $ (appunto).

Comunque, considero il polinomio $ Q(x,y)=P(x,y)-P(x,0) $. Poiché $ Q(x,y) $ è di grado 1 in $ y $, ho che esiste un polinomio $ q(x) $ tale che $ Q(x,y)=yq(x) $. Ho che $ Q(\cos t, \sin t)=-P(\cos t,0) $ e $ Q(\cos{-t}, \sin{-t})=Q(\cos t}, -\sin{t})=-P(\cos t,0) $, quindi per ogni $ t $ vale $ Q(\cos t, \sin t)=Q(\cos t}, -\sin{t}) $, ossia $ -(\sin t) q(\cos t)= (\sin t)q(\cos t) $, che è vero solo se $ q(x)=0 $, il che implica che $ P(x,y) $ è di grado 0 in $ y $...

TBPL ha scritto:

Agi_90 ha scritto: Poiché $ Q(x,y) $ è di grado 1 in $ y $, ho che esiste un polinomio $ q(x) $ tale che $ Q(x,y)=yq(x) $.

Perdona la mia inesperienza, ma non potrebbero esserci dei termini di $ P(x,y) $ di grado zero in $ y $, cioè non potrebbe essere per esempio $ P(x,y) = ax^{2}y + bx + c $? E se sì come fai a trovare $ q(x) $?

controlla meglio come ha costruito Q(x) e vedrai che funziona tutto

Maioc92 ha scritto:controlla meglio come ha costruito Q(x) e vedrai che funziona tutto

Qualcuno dei "boss" potrebbe dare un'idea sul punto b)? Grazie mille!