OliForum Matematico

Un test di matematica è costituito da dieci quiz a risposta “sì” o “no”. Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale −1, ogni risposta omessa vale 0. Il test superato se si raggiunge un totale di 6.
(i) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la
risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si superi il
test?
(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?

Domanda sul testo... Ma nei punti (i) e (ii), si intende dando risposta Si/No, quindi non omettendo la risposta? Non basta applicare la formula delle prove ripetute?

i) $ $p=\binom{10}{8}\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$ $

ii) Se rispondo giusto a k domande e sbagliato a 10-k domande ottengo $ $k-(10-k)=2k-10$ $ punti. Il punteggio deve essere maggiore o uguale a 6, quindi $ $2k-10\geq 6 \Rightarrow k\geq 8$ $. Perciò $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10} \cdot \Big[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\Big]$ $

iii) Questa volta ho $ $k-(4-k)\geq 2 \Rightarrow k\geq 3$ $ cioè devo rispondere giusto ad almeno 3 domande su 4. Quindi $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} \cdot \Big[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\Big]$ $

Si si ho fatto così anch'io, però mi sembrava troppo facile così, quindi pensavo che intendesse con il "rispondere a caso" anche la risposta in bianco.

fede90 ha scritto:i) $ $p=\binom{10}{8}\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$ $

ii) Se rispondo giusto a k domande e sbagliato a 10-k domande ottengo $ $k-(10-k)=2k-10$ $ punti. Il punteggio deve essere maggiore o uguale a 6, quindi $ $2k-10\geq 6 \Rightarrow k\geq 8$ $. Perciò $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10} \cdot \Big[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\Big]$ $

iii) Questa volta ho $ $k-(4-k)\geq 2 \Rightarrow k\geq 3$ $ cioè devo rispondere giusto ad almeno 3 domande su 4. Quindi $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} \cdot \Big[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\Big]$ $

Se nell'ultimo punto sbagli le restanti ultime due domande del test, soltanto se fai giuste tutte e quattro quelle a caso puoi passare l'esame. Per essere quindi "sicuri" di passare il testo bisogna fare giuste tutte le risposte a caso. Allora la probabilità diminuisce di un po.

mrossi ha scritto:
Domanda sul testo... Ma nei punti (i) e (ii), si intende dando risposta Si/No, quindi non omettendo la risposta? Non basta applicare la formula delle prove ripetute?

Ma anche nel punto iii, non capisco,

qualcuno ha la soluzione ufficiale per sapere se effettivamente va interpretato cosi? Per essere il numero 5 cosi sembra un po' troppo facile in effetti

Emperorius ha scritto:Se nell'ultimo punto sbagli le restanti ultime due domande del test, soltanto se fai giuste tutte e quattro quelle a caso pui passare l'esame. Per essere quindi "sicuri" di passare il testo bisogna fare giuste tutte le risposte a caso. Allora la probabilità diminuisce di un po.

(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?

Vuol dire che le ultime due le lasci in bianco, e che quindi ti danno in ogni caso 0 punti.