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Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Sia A' l'intersezione tra le rette AP e BC, e siano analogamente definiti i punti B' e C'. Trovare il minimo valore per

$ \frac{AP}{PA'}\frac{BP}{PB'}\frac{CP}{PC'} $

Buon Ferragosto e buon lavoro!

Dai, non è difficile...

Risposta: 8 (P = Baricentro)

La Fatina dei Suggerimenti ha scritto:Cosa centreranno le aree di APB, BPC e CPA in tutto ciò?

Applicando Menelao al triangolo $ BA'A $ si ottiene
$ {BC \over BA'}{A'P \over PA}{AC' \over C'B}=1 $
Allo stesso modo sui triangoli $ CB'B $ e $ AC'C $:
$ {CA \over CB'}{B'P \over PB }{BA' \over A'C}=1 $
$ {AB \over AC'} {C'P \over PC } {CB' \over B'A}=1 $

Moltiplichiamo membro a membro le tre equazioni. Otteniamo che il prodotto di quelle nove frazioni è 1; ma anche il prodotto della 3^, della 6^ e della 9^ frazione è 1 per Ceva, mentre il prodotto della 2^, della 5^ e dell'8^ è il reciproco della quantità da minimizzare. Troviamo quindi che questa è uguale a
$ {BC \over BA'}{CA \over CB'}{AB \over AC'} $

Poniamo $ {BA'\over BC}=\alpha \qquad {CB' \over CA}=\beta \qquad {AC'\over AB}=\gamma $
Per Ceva si ha $ {1 \over \alpha \beta \gamma}={1 \over (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)} $ da cui per GM-AM $ {1 \over (\alpha \beta \gamma)^2}={1 \over \alpha(1-\alpha)\beta(1-\beta)\gamma(1-\gamma)} \geq {\left({\alpha +(1-\alpha) +\beta+(1-\beta)+\gamma +(1-\gamma) \over 6}\right)}^{-6}=64 $
La quantità si minimizza quando c'è uguaglianza, cioè quando tutti i 6 numeri sono uguali: $ \alpha=1-\alpha=\beta=1-\beta=\gamma=1-\gamma={1 \over 2} $
Segue che P è l'intersezione delle mediane, quindi è il baricentro; il valore minimo è $ {1 \over \alpha \beta \gamma}=\sqrt{64}=8 $.

Ok Ippo_, ma attenzione all'inizio, perché applicando Menelao al triangolo $ BA'A $ ottieni
$ \frac{BC}{CA'}\frac{A'P}{PA}\frac{AC'}{C'B}=1 $
e analogamente i denominatori delle prime frazioni delle altre due formule sono $ AB' $ e $ BC' $; tuttavia questi errori non comportano grandi cambiamenti nel risultato finale, perché è come se si compensassero a vicenda!

Ah già tipica svista, strano che non abbia causato errori a catena