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Boh, non l'ho trovato da nessuna parte.

Determinare quanti sono i numeri reali $ ~x $ tali che $ ~0 \leq x \leq \pi $ e

$ \log_4|\sin 4x | + \left |\log_2 \sqrt{|\cos x|} \right | = 0 $.

$ \displaystyle \log_4|\sin 4x | + \left |\log_2 \sqrt{|\cos x|} \right | = 0 $

Cominciamo col notare che

$ \displaystyle \log_4 a = \frac{1}{2} \log_2 a $

e che

$ \displastyle \log_2 a^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 a $

Da ciò si ha

$ \displaystyle \log_2 |\sin 4x| + \left | \log_2 | \cos x | \right | = 0 $

Lavoriamo ora nell'intervallo $ [0;\pi /4] $: $ \sin 4x $ e $ \cos x $ sono sempre positivi, mentre il logaritmo in base $ ~2 $ di un numero compreso tra $ ~0 $ e $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} $ è sempre negativo, si ha quindi:

$ \displaystyle \sin 4x = \cos x \Rightarrow 4 \sin x (1 - 2 \sin^2 x) -1 = 0 $

$ (4\sin^2 x + 2\sin x -1)(2 \sin x -1) = 0 $

Da cui si ottiene $ x=\pi / 6 $ e $ x = \pi /10 $

Analizzando anche gli altri 3 intervalli si dovrebbero ottenere tutte le soluzioni

Alex90 ha scritto:Analizzando anche gli altri 3 intervalli si dovrebbero ottenere tutte le soluzioni

Se non ho sbagliato i calcoli però qualche soluzione va fuori il bound, o no?

domanda: come si fa a risolvere $ 8x^3-4x-1=0 $? Al massimo uno può provare i seni di angoli particolari e sperare che risovano.....

Beh chiede solo il numero delle soluzioni... Con poca analisi lo si fa tranquillamente
$ $\sin 4x=\pm \cos x $
$ $4\sin x\cos x(1-2\sin^2x)=\pm \cos x $
Poiché l'argomento del logaritmo dev'essere postivo, si semplifica il coseno, e ci si riconduce a una funzione in $ $k=\sin x $ con $ $k\in [0,1] $
$ $f(k)=4k-8k^3=\pm1 $
È 0 in 0, con la derivata prima cresce fino a $ $1/\sqrt 6 $ dove fa $ $\frac{4\sqrt 6}9>1 $ e poi decresce fino a -4 in 1. Questo vuol dire che interseca 3 volte le rette 1 e -1, e poiché ovviamente mai in x=1, ad ognuna di queste 3 soluzioni corrispondono due angoli fra 0 e pi. In conclusione le soluzioni sono 6.

edit@agi: già è vero. E pensare che quando l'ho fatto la prima volta su carta l'avevo anche notato.

julio14 ha scritto:In conclusione le soluzioni sono (o dovrebbero) essere 7.

aspè ma $ \frac{\pi}{2} $ non è accettabile, sennò dovresti calcolare il logaritmo di 0.

Comunque se si volesse proprio risolverle, ci sono le formule di cardano per le equazioni di terzo grado.

edit: l'ho postato perché mi sembrava troppo semplice la mia soluzione per essere un sns.

Maioc92 ha scritto:domanda: come si fa a risolvere $ 8x^3-4x-1=0 $? Al massimo uno può provare i seni di angoli particolari e sperare che risovano.....

$ 8x^3-4x-1=0 \Rightarrow (4x^2 -2x -1)(2x +1) $

è vero che idiota che sono!!!!!
non mi sono accorto che $ -\frac 1 2 $ era soluzione. Scusate stamattina mi ero appena svegliato e probabilmente ero ancora un po' assonnato