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Mostrare che ogni intero $ >1 $ è la somma di due interi positivi liberi da quadrati.

L'ho dimostrato... ma è una delle dimostrazione più brutte che abbia mai fatto xD
Penso che ce ne sia una molto più bella ma intanto posto la mia (con aiuto di Gioacchino):
Definisco O(n) il numero di "privi di quadrati" minori di n.

Ragionando posso definire O(n) come n-(tutti i multipli di quadrati); ma questo valore è sicuramente maggiore di
$ $ n-\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\sqrt{n}}[\frac{n}{i^2}]$ $
con [x] la parte intera di x. Questo perchè se un numero è multiplo di un quadrato allora è multiplo del quadrato di un primo e se deve essere minore di n allora il primo è minore della radice di n... quella sommatoria praticamente somma i numeri divisibili per 4,9,25... etc fino all'ultimo primo minore della radice di n.
Quindi posso dire:
$ $O(n)>n-\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\sqrt{n}}[\frac{n}{i^2}]>n-\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\sqrt{n}}\frac{n}{i^2}=n(1-\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\sqrt{n}}\frac{1}{i^2})$ $
Ora dimostro che la sommatoria è minore di 1/2... se così fosse allora
$ O(n)>n/2 $
Da cui la tesi deriva ovviamente dato che se scelgo n/2+1 numeri minori di n almeno una coppia sommata dà n (si dimostra facilmente notando che se c'è k non può essere presente n-k).
Per dimostrare la disuguaglianza devo usare il risultato del problema di basilea in questa catena di disuguaglianze:
$ $\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\sqrt{n}}\frac{1}{i^2}<\sum_{i\in\mathbb{P}}^{\infty}\frac{1}{i^2}<\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}\right)-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}-\frac{1}{8^2}-\frac{1}{9^2}-\frac{1}{10^2}-\frac{1}{12^2}-\frac{1}{14^2}-\frac{1}{16^2}=\frac{\pi^2}{6} -\frac{29177437}{25401600}<\frac{(\frac{31415927}{10000000})^2}{6}-\frac{29177437}{25401600}=\frac{393953794593322267}{793800000000000000}<1/2$ $
Da cui si conclude per quanto detto in precedenza...
Rileggendola la dimostrazione diventa sempre più brutta xD

A me piace...

credo che la stima sulla somma si possa fare in modo un po' più "informale" facendo stime sul logaritmo della serie di 1/n^2...

più precisamente, basta osservare che per ogni $ -1/4\le x\le 0 $ si ha $ x\le k\log (1+x) $ (dove la costante si determina facilmente, probabilmente per concavità), e poi si smanetta un pochino con l'identità $ \prod (1-\frac1{p^2}) = \sum \frac1{n^2} $... non ho fatto tutti i conti (sinceramente mi ci sto un po' perdendo), ma spero che torni

Alur... premetto che non mastico molto i logaritmi... ma proverò a capire la tua idea.
Ma in ogni caso ci sono dei buchi che proprio non riesco a riempire :|
Prima di tutto... a che ti servono i logaritmi per valutare la serie armonica? Spiega meglio perchè non ho capito quella parte... ma poi quell'identità che roba è :| Come si dimostra ??? (o anche come si chiama... che me la guardo su wiki)

mumble, in effetti sono stato un po' fumoso...

se prendi per buona quell'identità, fai i logaritmo di entrambi i membri e usi la stima, dovresti ottenere qualcosa tipo $ \displaystyle k\sum \frac1{p^2}<\log\left(\frac{\pi^2}6\right) $, da cui (se la costante del mio post precedente è abbastanza buona) potresti ottenere che la serie è minore di $ \frac12 $.

per quanto riguarda quell'identità, si va un po' "off-topic", o quantomeno su argomenti non elementari (da analisi 1, per capirci): si deve sfruttare l'assoluta convergenza per riordinare i termini e fare la somma della serie geometrica per ogni primo..
qualcosa tipo:
$ \displaystyle\lim_{p,k\to\infty}\prod_p\left(\sum \frac1{(p^2)^k}\right) = \lim_S \sum_S \frac1{n^2} $,
dove i primi limiti sono fatti bene, la somma è presa su sottoinsiemi "crescenti" "fatti bene" degli interi positivi.

Qui c'è la mia soluzione, l'idea base è la stessa, soltanto che evito $ \zeta(2) $ e prodotti di eulero (seppur potevano essere dati per fatti noti )

jordan ha scritto:Iniziamo: $ 2=1+1,3=2+1,4=3+1,5=2+3,6=5+1 $,$ 7=5+2,8=5+3,9=7+2, $$ 10=7+311=10+1,12=10+2,13=10+3 $. Per il seguito supponiamo $ n\ge 14 $. Se mostriamo che tra $ 1 $ e $ n $ ci sono più di $ \frac{n}{2} $ numeri liberi da quadrati allora abbiamo la tesi. Ma ciò è vero perchè i numeri che non sono liberi da quadrati sono al massimo (al diavolo anche inclusione-esclusione ):

• $ \displaystyle \sum_{i=1}^{\pi(n)}{\left\lfloor \frac{n}{p_i^2} \right\rfloor} < n\sum_{i=1}^{\pi(n)}{p_i^{-2}} $ $ \displaystyle < n \left(2^{-2}+3^{-2}+5^{-2}+7^{-2}+11^{-2}+13^{-2}+\sum_{i=17}^{n}{i^{-2}}\right) $

• • $ \displaystyle < n\left[2^{-2}+3^{-2}+5^{-2}+7^{-2}+11^{-2}+13^{-2}+\sum_{i=17}^n\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\right)\right] $

$ \displaystyle < n\left(2^{-2}+3^{-2}+5^{-2}+7^{-2}+11^{-2}+13^{-2}+16^{-1} \right) $$ \displaystyle < \frac{n}{2} $.