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Ho notato una regolarità, a livello di disegni, che mi piacerebbe potesse essere dimostrata (o smentita con un controesempio). Finora mi è riuscita solo una dimostrazione indiretta, su cui non metto la mano sul fuoco, ma potrebbe essere una generalizzazione utile per alcuni problemi.

Siano $ \overset{\triangle}{ABC} $ e $ \overset{\triangle}{AB'C'} $ triangoli qualsiasi non sovrapposti uniti per il punto $ A $ e i punti siano disposti in modo tale che $ BC' $ intersechi $ CB' $. Le due circonferenze circoscritte si incontrino in $ A $ e in $ P $ (eventualmente sovrapposti). I punti $ BPC' $ sono allineati, così come $ CPB' $. È vero?

PS: c'è modo di mettere, in LaTeX, il triangolino sopra alla dicitura "ABC"?

EDIT: modificato, grazie Haile

$ $ \overset{\triangle}{ABC} $ $

No, è falso. Sia Q il punto d'incontro di B'C e C'B, esso è invariante rispetto ad A. Si vede invece facilmente che P dipende da A (ad esempio, mandando A in A'=P e P in P'=A), quindi è impossibile che P appartenga ad uno dei due segmenti, perché per simmetria dovrebbe appartenere anche all'altro e coincidere con Q, assurdo.

Detto più semplicemente, la situazione è simmetrica rispetto a P ed A, quindi se è allineato P, lo è anche A, segue che i triangoli sono degeneri.

Cosa sbaglio?

Edit: anticipato da julio XD

Giocherellando con Geogebra, aggiungendo qualche ipotesi ho trovato un rilancio che invece funziona: siano ABC e AB'C' simili (rispettando l'ordine delle lettere), dimostrare che ora P sta su B'C e C'B, e volendo anche il viceversa, così diventa un se e solo se.