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Da un punto esterno a una circonferenza si conducano due secanti; esse formano con la circonferenza due corde qualsiasi. Dimostrare che l'angolo fra le due secanti è congruente alla semidifferenza fra i due angoli al centro che sottendono i due archi interni alle secanti.

Descrivo la figura:
Disegno una circonferenza $ \mathcal{C} $ di centro $ O $. Prendo un punto esterno alla circonferenza e lo chiamo $ A $. Traccio la prima secante che incontra la circonferenza in due punti $ B $ e $ C $ in quest'ordine.
Traccio la seconda secante che incontra la circonferenza in due punti, $ D $ ed $ E $ in quest'ordine.

Dimostrazione:
Chiamo $ \angle CAD = \alpha $ l'angolo formato dalle due secanti e $ \angle DCA = \beta $.
$ \angle DCA = \angle BEA = \beta $ poiché insistono sullo stesso arco di circonferenza.
$ \angle CBE = \angle BEA + \angle CAD = \beta + \alpha $ per il teorema dell'angolo esterno.
$ \angle COE = 2\angle CBE = 2(\beta + \alpha)=2\beta + 2\alpha $ perché l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla cfr.
$ \angle BOD = 2\angle BEA = 2\beta $ per la stessa motivazione di prima.

Gli angoli $ \angle COE $ e $ \angle BOD $ sono gli angoli al centro che sottendono gli archi interni alle secanti.
Notiamo che $ \displaystyle\frac{\angle COE - \angle BOD}{2} = \frac{2\beta + 2\alpha-2\beta}{2} = \alpha = \angle CAD $ ovvero l'angolo formato dalle due secanti.

Va bene?

Ottimo. Esistono alcune varianti della dimostrazione, ma tutte abbastanza simili.