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Si consideri l'equazione
$ x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0 $
a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che $ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 $, siano tutti divisibili per un assegnato numero primo $ p>1 $ e che $ a_5 $ non sia divisibile per $ p^2 $.
Dimostrare che l'equazione non ammette come soluzione alcun numero intero.

Fedecart ha scritto:$ a^5 $ non sia divisibile per $ p^2 $.

Per caso intendevi $ a_5 $?

Poiché gli $ $a_i $ sono tutti divisibili per $ $p $ e $ $p \mid0 $, allora dev'essere anche $ $p \mid x^5 $, cosicché $ $p \mid LHS $.

Ma se $ $p \mid x^5 $, allora $ $p \mid x $, e poichè nella fattorizzazione di $ $x^5 $ tutti i primi appaiono con esponente multiplo di $ $5 $, avremo che, al minimo, $ $p^5 \mid x^5 $.

In particolare, a noi interessa che $ $p^2 \mid x^5 $, così come $ $p^2 \mid x^4 $, $ $p^2 \mid x^3 $ e $ $p^2 \mid x^2 $.

Dunque $ $p^2 $ divide sicuramente tutti i monomi di grado $ $\geq 2 $ del polinomio all' $ $LHS $; sfruttando l'ipotesi di partenza, cioè che $ $p \mid a_4 $ e il fatto che $ $p \mid x $, possiamo anche affermare che $ $p^2 \mid a_4x $.

Dunque $ $p^2 $ divide tutti i termini dell'$ $LHS $ tranne $ $a_5 $; poiché $ $p^2 \mid 0 $ abbiamo che quest'uguaglianza non può essere verificata negli interi perchè $ $p^2 \mid RHS $ ma $ $p^2 \nmid LHS $