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Mostrare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che l'equazione $ n=a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11} $ non ha soluzione in $ \mathbb{N} $.

jordan ha scritto:Mostrare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che l'equazione $ n=a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11} $ non ha soluzione in $ \mathbb{N} $.

Bon... definisco $s_m=|\{(a,b,c,d,e)\in \mathbb{N}^5:\ a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11}\le m\}|$ e $z_m=|\{(a,b,c,d,e)\in \mathbb{N}^5:\ a^3\le m \wedge b^5\le m\wedge\ c^7\le m\wedge d^9\le m\wedge\ e^{11}\le m\}|$
È ovvio per definizione che $s_m\le z_m$. Inoltre, sempre per definizione, $\displaystyle z_m\le \sqrt[3]{m}\cdot \sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[7]{m}\cdot\sqrt[9]{m}\cdot\sqrt[11]{m}=m^{\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}}<m^{0.9}$
Unendo le disuguaglianze ottengo l'inaspettato $s_m<m^{0.9}$ da cui ricavo che la funzione $f(a,b,c,d,e)=a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11}$ assume al massimo $m^{0.9}$ valori minori o uguali ad $m$ e quindi esistono almeno $m-m^{0.9}$ valori minori di $m$ non toccati dalla funzione, per cui quindi l'equazione non ha soluzione... poichè quella roba al crescere di $m$ va ovviamente all'infinito esistono infiniti valori per cui non c'è soluzione.

p.s. ribeccata per caso, ricordo che a suo tempo mi aveva fatto impazzire

... Bella !

Devo dedurne che quando c'è da dimostrare che qualcosa non ha soluzioni e l'andar per congruenze apre solo vie che conducono alla follia, devo prendere gli insiemi delle soluzioni, studiarne le caratteristiche e trovare un assurdo studiandoli ? Esiste qualche altro approccio che non ho mai visto ?

dario2994 ha scritto:p.s. ribeccata per caso, ricordo che a suo tempo mi aveva fatto impazzire

Non solo a te