OliForum Matematico

EDIT:(mi sono accorto che così come l'avevo scritto all'inzio f(a)-f(b) poteva andare a infinito)
sia $ h $ un intero positivo. Sia $ f:\mathbb{N}^{+}\mapsto \mathbb{R} $ una funzione.
per ogni $ n>=h $ sia $ g(n)= $$ $\sum_{i=n-h+1}^{n}{\frac{f(i)}{h}}$ $.
Supponiamo che esista un intero positivo $ a $ tale che per ogni n minore di a$ g(n)>=f(n) $ mentre $ f(a)=g(a) $. Sia $ b $ il primo numero intero positovo maggiore di $ a $ tale che $ f(b)=g(b) $ (nell' ipotesi che f sia tale che vi sia almeno un valore con tale proprietà e nell'ipotesi che per n compreso tra a e b f(n)>g(n)).
Calcolare in funzione di $ f(1),...,f(a) $ e in funzione di $ h $ il massimo valore che può assumere $ f(a)-f(b) $ al variare delle funzioni di questo tipo.
(ora è chiaro il problema o c'è ancora qualche falla?)

come vi semra questo problema? innanzitutto è chiaro? o c'è bisogno di ulteriori spiegazioni? a me è sembrato un problema abbastanza difficile... a voi?

hai una $ ~g(x) $ che non dipende da alcun x, ergo e' costante?

a me viene spontaneo interpretarla come $ g(n) $, però non sono tanto sicuro....

molto probabile

SkZ ha scritto:hai una $ ~g(x) $ che non dipende da alcun x, ergo e' costante?

si scusami era $ g(n) $ come dice maioc92...
cioè detto in modo + informale abbiamo una funzione f che ha come dominio gli interi. Fissato h, da h in poi calcoliamo la funzione g che vale in ogni punto la media degli ultimi h valori di f precendenti tale punto. La funzione g può stare sopra o sotto la funzione f. Supponiamo che se passa da stare sopra a sotto oppure se passa da stare sotto a sopra, g interseca f in un punto a (ossia f(a)=g(a)). Allora consideriamo un f tale che g prima stia sopra f, poi passi per un certo periodo sotto f dopodichè risalga nuovamente sopra di f (considerando quindi la prima volta che risale) intersecando f in un punto b. Potrebbe capitare che f(b)<f(a). Al variare di tali funzioni fissati h e f(1),...,f(a) massimizzare f(b)-f(a).
Chiaro ora?
P.S: volevo allegare un immagine però purtroppo non mi accetta molte mie estensioni...

per allegare velocecemte un grafico fai uno screenshot della finestra

riscritto in matematichese (:lol:) e forse piu' semplice
dato $ ~h\in\mathbb{N}^+ $, siano $ $f,g\; \mathbb{N}^+\to\mathbb{R}: g(n)=\frac{1}{h} \sum_{i=0}^{h-1}f(n-i) $
sia $ ~a\in\mathbb{N}^+ : g(a)=f(a) $ tale che $ ~\forall n<a\; g(n)\geq f(n) $ e dato
$ ~b=min\{n>a: g(n)=f(n) \} $ si abbia $ ~\forall n: a<n<b\quad g(n)<f(n) $

calcolare $ ~max[f(a)-f(b)]\left(f(1),\dots,f(a)\right) $

si, avevo poco da fare. Piu' che altro per dimostrare che il matematichese non e' cosi' oscuro volendo

beh... un paio di cose, in realtà:

SkZ ha scritto: e dato
$ ~b=min\{n>a: g(n)=f(n) \} $ si abbia

(nell'ipotesi che tale insieme non sia vuoto)

SkZ ha scritto: calcolare $ ~max[f(a)-f(b)]\left(f(1),\dots,f(a)\right) $

beh... in realtà $ ~max[f(a)-f(b)]\left(f(1),\dots,f(a), h\right) $

SkZ ha scritto:riscritto in matematichese (:lol:) e forse piu' semplice

beh in realtà nel primo post avevo provato a scriverlo in matematichese però forse era poco semplice...

SkZ ha scritto:per allegare velocecemte un grafico fai uno screenshot della finestra

oh: per fortuna mi accetta il formato jpg...ora ho allegato un immagine: così dovrebbe essere tutto più chiaro.
Per quanto riguarda la soluzione invece? avete idee? io avevo pensato che la funzione che realizzasse il massimo fosse quella tale che per ogni n>=a, n<=b $ f(n)=g(n) $ questo perchè essa è la funzione che in ogni punto "si permette" di scendere di + (non so se rendo l'idea) però mi sembra che un altra funzione potrebbe a priori scendere di meno alla volta ma scendere per più tempo. Se fosse tale f che realizza il minimo, allora, (poichè mi sembra concava) basterebbe trovare il suo minimo e per il calcolo si avrebbe $ f(n)=\frac{1}{h} \sum_{i=0}^{h-1}f(n-i) $ che dà una successione per ricorrenza $ f(n)=\frac{1}{h-1} \sum_{i=1}^{h-1}f(n-i) $. Ora però mi sorgono due problemi:
1) non sono sicuro che sia davvero lei
2) non so risolvere una tale successione per ricorrenza
voi che dite: vi sembra la strada giusta? o avete idee migliori?