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Mostrare che se $ p \in \mathbb{P} $ e $ k>0 $ sono fissati tali che $ p-1 \nmid k $ allora $ p \mid \sum_{i=1}^p{i^k} $.

Ps. very easy

Escludiamo dalla sommatoria il $ ~p^k $ finale, che non cambia la congruenza modulo $ ~p $.
Consideriamo un generatore $ ~g $ modulo $ ~p $, dunque $ 1, g, g^2, \ldots, g^{p-2} $ sono tutte le classi di resto modulo $ ~p $, eccetto quella dello 0.
Dato che la sommatoria è la somma delle potenze $ ~k $-esime di tutte le classi di resto modulo $ ~p $ (eccetto quella dello 0), allora
$ $\sum_{i=1}^{p-1}i^k\equiv\sum_{i=0}^{p-2}(g^i)^k\equiv\sum_{i=0}^{p-2}(g^k)^i\equiv\dfrac{(g^k)^{p-1}-1}{g^k-1}\pmod{p} $
Ora per il PTF $ p|(g^k)^{p-1}-1 $, mentre $ p\not|g^k-1 $ perché $ ~g $ è generatore e $ p-1\not|k $, dunque $ ~g^k $ non prende mai la classe dell'1 modulo $ ~p $.

Bene. Una soluzione che non usa i generatori?

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Si, il primo che mi propose quest'esercizio fu proprio Carlein

Comunque faccio notare che la sua soluzione usa i generatori

Malus question
Sia $ p\in\mathbb P\land p\ge3 $, $ k\in\mathbb N^+ $ e $ a_1,a_2,\dots,a_{\phi(p^k)} $ un sistema di residui che copre tutte le classi coprime con $ p^k $. Sia infine $ \omega\in\mathbb N $. Dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{j=1}^{\phi(p^k)}a_j^\omega\equiv\begin{cases}0\mod{p^k} & \text{se $p-1\nmid\omega$} \\ \phi(p^k)\mod{p^k} & \text{se $p-1\mid\omega$} \end{cases} $

Se $ p\ne2 $ oppure $ ~p=2 $ e $ k\in\left\{1,2\right\} $, allora $ ~p^k $ ha un generatore e si risolve come prima.

Poniamo dunque $ ~p=2 $ e $ ~k>3 $ (ricordiamo che $ \phi(2^k)=2^{k-1} $).
Le classi coprime con $ ~2^k $ sono rappresentate da tutti i dispari minori di $ ~2^k $, dunque
$ \displaystyle\sum_{J=1}^{\phi(2^k)}a_j^{\omega}\equiv1^{\omega}+3^{\omega}+\ldots+(2^k-3)^{\omega}+(2^k-1)^{\omega}\pmod{2^k} $

Ora se $ ~\omega $ è dispari, per motivi di simmetria (dovuta al fatto che $ \phi(2^k) $ è pari e vale $ ~2^{k-1} $) la somma si annulla modulo $ ~2^k $.

[Pensavo di averlo fatto giusto, adesso aggiusto il caso in cui omega è pari]

edriv ha scritto:Comunque faccio notare che la sua soluzione usa i generatori

Lo so