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Sia $ p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $ un polinomio con coefficienti $ a, b, c, d, e $ numeri razionali. Si supopnga che, per ogni intero $ m $ maggiore di un certo $ m_0 $, il numero $ p(m) $ sia intero. Si dimostri che allora $ 24a $ è un numero intero.
Si generalizzi questo risultato a polinomi $ p(x) $ con coefficienti razionali di grado qualsiasi.

Induzione! La nostra tesi è che un polinomio siffatto è intero solo se $ $ n!a_n $ è intero, dove $ $n $ è il grado di $ $P(x) $.

L'idea è che se da $ m_0 $ in poi $ P(m) $ è intero, allora $ P(x) - P(x+1) $ con $ x>m_0 $ è anchesso intero. Il passo base è molto semplice
$ ax+b -(a(x+1)+b) = a $ è intero []. Il passo induttivo: $ P(x)-P(x+1) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} $$ -a_nx^n-a_{n-1}x^{n-1}-a_nnx^{n-1} $$ + Q_1(x) + Q_2(x) = $$ -a_nnx^{n-1} + Q_1(x) + Q_2(x) $ dove $ a_1,\ldots , a_n $ sono i coefficienti di $ P(x) $ e $ Q_1(x), Q_2(x) $ due polinomi di $ $(n-2) $-esimo grado. Ma quindi per l'ipotesi induttiva $ $P(x) $ rispetta le ipotesi solo se $ (n-1)!a_nn =n!a_n $ è intero []

edit

non ho capito in che modo sfrutti l'induzione...

Maioc92 ha scritto:non ho capito in che modo sfrutti l'induzione...

L'induzione è sul grado di $ $P $. Diamo per vero per $ $n-1 $ e dimostriamo per $ $n $
$ $P(x) $ soddisfa le ipotesi se e solo se $ $P(x) - P(x+1) $ è intero, ma quella differenza è un polinomio di grado $ $n-1 $ quindi posso usare l'ipotesi induttiva etc etc

In effetti ora che me la leggo più attentamente ho capito, però attento!!!Noi vogliamo dimostrare il "solo se", non il "se e solo se", anche perchè altrimenti la tesi diventerebbe falsa credo (prendi ad esempio il polinomio $ \frac 1 {24}x^4+1 $). A parte questo ho chiarito i miei dubbi grazie

Sìsì hai ragione