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Dati $ a, b, c $ reali positivi, verificare che
$ a^2+b^2+c^2\leq 2ab+2bc+2ca $

Alt! Non vale per tutti i reali positivi!Se prendi $ (10,1,0) $ si ha $ 101 \leq 20 $!

Si può salvare restringendola ad $ a,b,c $ lati di un triangolo.
E si risolve con una sostituzione standardissima...

Sì ok... si può fare in vari modi. Quello che intendevo, è che quando $ a,b,c $ sono lati di un triangolo, allora spesso funziona sostituire
$ \left\{\begin{array}{l}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{array}\right. $
In questo caso, la disuguaglianza banalmente diventa $ 4(xy+yz+zx)\ge0 $...

PS: ho come l'impressione che Fedecart stesse facendo l'esercizio SNS 2004-2005 #5... Sbaglio?

Bonus question!
Sia $ k\in\mathbb{N}^+ $ e $ a,b,c $ lati di un triangolo. Dimostrare che $ a^{2k}+b^{2k}+c^{2k}\le2(ab+bc+ca)^k $.

Hai perfettamente ragione Feddy, stavo facendo quell'esercizio! Avevo già risolto l'altra metà, e quella non mi riusciva, troppo preso dalla disuguaglianza, provata e riprovata in ogni modo che conosco, mi ero letteralmente scordato che il testo dava a b c lati del triangolo!!
Ho bisogno di una pausa... Troppi SNS in un colpo possono far male!

Altrimenti

$ (a+b-c)(a-b+c)=a^2-b^2-c^2+2bc \geq 0 $

Sommando le cicliche si ha la tesi

Bello!
Ora è tempo della bonus question!