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Sia $ \Gamma $ una conica e $ A,B,C,D,T\in\Gamma $. Dimostrare che $ (TA:TB:TC:TD) $ è indipendente dalla scelta di $ T $.

Consiglio di dare un'occhiata qui

ma perche' mi sa di gia' sentito?

Infatti voleva essere un ripassino.

Domanda: è vero che se prendiamo un punto $ ~P $ a caso nel piano e chiamiamo $ ~E,F,G,H $ le ulteriori intersezioni di $ ~PA,PB,PC,PD $ con $ ~\Gamma $ allora $ ~(A,B;C,D)_\Gamma=(E,F;G,H)_\Gamma $? Se sì come si può dimostrare?

Allora...
1) dati un punto P e una retta r non per P, per ogni punto A del piano consideriamo la retta s per P e A, sia Q l'intersezione tra s e r e sia B il quarto armonico per P,Q,A ovvero (P,Q;A,B)=-1; definiamo allora f(A)=B. Tale funzione è una proiettività.
2) data una conica e dato un punto P non su di essa, consideriamo la retta r che è polare di P rispetto alla conica; definiamo la proiettività f come al punto 1 ed osserviamo che, se s per P interseca la conica in A e B e r in Q, allora (P,Q;A,B)=-1. Quindi f fissa la conica e scambia le intersezioni delle rette per P con questa.

Quindi le due quaterne sono scambiate da f senza alterare la conica e perciò hanno lo stesso birapporto rispetto alla conica: basta considerare un punto L tale che PL è tangente alla conica e si avrà che (LA,LB;LC,LD)=(LE,LF;LG,LH).

Cavolo è impossibile batterti sul tempo!
Stavo ancora tentando di dimostrare che la funzione che scambia le intersezioni è una proiettività. Comunque sono contento di aver per lo meno pensato la strada giusta.
Quanto alla conclusione, mi pare che non sempre si possa trovare un tale $ L $ come lo definisci tu, ovvero che $ PL $ sia tangente. Tuttavia non è neanche necessario perchè si può prendere un $ L $ generico su $ \Gamma $ e dire che $ (A:B:C:D)_{\Gamma}=(LA:LB:LC:LD)= $$ (L'A':L'B':L'C':L'D')=(A':B':C':D')_{\Gamma} $, dove gli apici indicano le immagini in base alla proiettività.

uh beh, io di solito lavoro con i complessi, quindi a cose come l'esistenza della tangente nn penso mai (nei complessi c'è sempre). Cmq hai ragione, ovviamente.

Wow Chiarissimo! Grazie a tutti e due!