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Dati tre numeri interi $ a, b, c $ aventi massimo comun divisore 1, verificare che i numeri della forma
$ am^2+bm+c $
con $ m $ intero qualunque, non possono essere tutti divisibili per 14.
Generalizzare il risultato.

Pongo $ x=0 $: ottengo $ c\equiv0\pmod{14} $ (I)
Pongo $ x=1 $: ottengo $ a+b+c\equiv0\pmod{14} $ (II)
Pongo (a quest'età, ancora giocare col pongo...) $ x=-1 $: ottengo $ a-b+c\equiv0\pmod{14} $ (III)
(I) ci dice $ 7\mid c $
(II)+(III) ci dice $ 2a\equiv0\pmod{14} $, ovvero $ 7\mid a $
(II)-(III) ci dice $ 2b\equiv0\pmod{14} $, ovvero $ 7\mid b $
Quindi $ 7\mid GCD(a,b,c) $.

Generalizzazione: sia $ p $ un primo dispari (ma quando lo toglieranno 'sto maledetto 2? ); allora i numeri di quella forma non possono essere tutti divisibili per $ p $.

Ho scritto altre cretinate, come questa mattina?

Fedecart ha scritto:Generalizzare il risultato.

Dato un primo $ p>\text{deg}(f(x))>0 $, dove $ f(\cdot) \in \mathbb{Z}[x] $ è fissato con coefficienti coprimi, esiste un $ y \in \mathbb{Z} $ tale che $ 0 \le y \le p-1 $ e $ p \nmid f(y) $.

Segue dal fatto che un polinomio di grado ha al massimo d radici distinte modulo p.

Se fosse $ f(y)\equiv0\pmod p\ \ \ \forall y\in[0,p-1] $, allora $ f(x) $ sarebbe il polinomio nullo modulo $ p $, quindi i suoi coefficienti sarebbero divisibili per $ p $.
Giusto?

Si FeddyStra, ho editato prima di leggere il tuo messaggio.. qualche volta capita a tutti di dormire un po