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Volevo sapere,data una permutazione come faccio a calcolare la lunghezza dei cicli?
Ovvero ,per esempio,data questa permutazione:
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 4 5 6 3 1 9 7 8 2)
Come devo calcolare la lunghezza dei cicli?

Parti da un numero a caso (ad esempio 1)

f(1)=10
f(10)=2
f(2)=4
f(4)=6
f(6)=1

riecco il numero iniziale!
quanti numeri abbiamo incontrato?
1; 10; 2; 4; 6. Abbiamo incontrato 5 numeri, dunque il ciclo che parte dall'1 (o dal 10, o dal 2...) ha lunghezza 5.

Gli altri cicli sono (3; 5) di lunghezza 2 e (7; 9; 8 ) di lunghezza 3.

Scegli un elemento (di solito inizi con l'1). Dopo di che, segui gli spostamenti dettati dalla permutazione fino a quando torni allo stesso elemento di partenza. A quel punto prendi il primo elemento non ancora inserito in un ciclo e ripeti l'operazione. A un certo punto arrivi alla fine.

Esempio:
prendi l'1. L'1 va in 10, il 10 in 2, il 2 in 4, il 4 in 6, il 6 in 1. Sei tornata al punto di partenza. Quindi questo è un ciclo: $ 1\to10\to2\to4\to6\to1 $. Il ciclo lo puoi indicare per brevità con $ (1\ 10\ 2\ 4\ 6) $.
Ora, il primo elemento non ancora preso è il 3. Il 3 va in 5, il 5 in 3. Hai trovato un ciclo lungo 2, ovvero uno scambio. Esso lo indichi con $ (3\ 5) $.
Il primo elemento non ancora preso è 7: il 7 va in 9, il 9 in 8 l'8 in 7; ergo $ [tex] $(7\ 9\ [/tex].
La tua permutazione quindi si può scrivere come $ [tex] $(1\ 10\ 2\ 4\ 6)(3\ 5)(7\ 9\ [/tex].

Se un elemento va in se stesso, ovvero è un punto fisso, allora comparirà un ciclo di lunghezza 1 della forma $ (x) $.

capito!e per trovare l'ordine basta che faccio il mcm della lunghezza dei cicli?

Sì. Per esempio, la permutazione che hai scritto tu ha cicli di lunghezza 2, 3 e 5, quindi componendola $ 2\cdot3\cdot5=30 $ volte ottieni l'identità.