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Sia $ \Gamma $ una circonferenza e $ AB $ un suo diametro. Presi un punto $ C \in AB $ e un punto $ D \in \Gamma $ $ | $ $ \widehat{ACD}=\dfrac{\pi}{2} $,si consideri la circonferenza tangente ai segmenti $ CD $ e $ AB $ e all'arco $ AB $ che contiene $ D $. Detto $ T $ il punto di tangenza di questa circonferenza con il diametro $ AB $,dimostrare che il triangolo $ ADT $ è isoscele.

ho trovato una soluzione però è un po' brutta e "contosa":in pratica ho ricavato AD e AT in funzione dei 2 raggi ed ovviamente ponendoli uguali si ottiene un'identità. Appena ho tempo posso anche scriverla per intero però mi piacerebbe trovarne una un po' più bella prima

EDIT: cancellate cavolate

Alex90 ha scritto: $ ~\widehat{DAB}=2\widehat{DTB} $ in quanto angoli alla circonferenza e al centro che insistono sullo stesso arco

in teoria sarebbe il contrario (l'angolo al centro è due volte quello alla circonferenza) e poi T non è il centro, anche se è facile confondersi

comunque ecco la mia soluzione (purtroppo non ne ho trovata una migliore) nel caso in cui $ T\in OB $, nel caso in cui $ T\in OA $ comunque è analoga:
-chiamiamo $ O $ il centro della circonferenza maggiore, $ R,r $ i 2 raggi,$ 0_1 $ il centro della circonferenza minore e $ K $ il punto di tangenza della circonferenza minore con $ CD $, $ H $ il punto di tangenza della circonferenza minore con $ \Gamma $
-notiamo che $ CTO_1K $ è un quadrato per ovvie ragioni e che $ O,O_1,H $ sono allineati perchè sia $ OH $ che $ O_1H $ sono perpendicolari nello stesso punto alla tangente di $ \Gamma $ passante per H.
Sapendo questo possiamo iniziare a ricavare i segmenti vari:
$ AT=R+OT $
$ OT=\sqrt{(R-r)^2-r^2} $ per pitagora.
Ora quindi abbiamo trovato $ AT $ e dobbiamo trovare $ AD $:
$ AD=\sqrt{DC^2+AC^2} $ per pitagora
$ DC=\sqrt{R^2-OC^2} $
$ OC=R-AC $
$ AC=R+OT-r $
Ora quindi ci basta fare i calcoli per ottenere la tesi, cioè $ AD=AT $

Edit: Mentre scrivevo, Maioc 92 ha postato la sua soluzione xD

Probabilmente la mia soluzione sarà la stessa di Maioc92, comunque la posto.
Per comodità chiamo $ \gamma $ la circonferenza tangente a $ CD $,$ AB $ e $ \Gamma $.

Basta fare una figura per accorgersi che, nel caso in questione, chiamato $ R $ il centro della circonferenza $ \Gamma $,$ r $ il raggio della circonferenza $ \gamma $ e $ h $ il segmento $ AC $, vale la seguente relazione

$ \sqrt{r^2+|R-h-r|^2}+r = R $

Per dimostrarla chiamiamo $ O $ il centro della circonferenza $ \Gamma $,$ O' $ il centro della circonferenza $ \gamma $ e $ R $ il punto di tangenza delle due circonferenze. $ R,O,O' $ sono allineati, dunque vale

$ RO = RO' + O'O = RO' + \sqrt{O'T^2 + TO^2} = RO' + \sqrt{RO'^2 + |AO-AC-CT|^2} = $
$ = RO' + \sqrt{RO'^2 + |RO-AC-RO'|^2} $

Dove $ RO' = r , RO = R , AC = h $.

Ora calcolo $ AD= \sqrt{AC * CB} = \sqrt{AC\cdot(AB-AC)} = \sqrt{h\cdot(2R-h)} = \sqrt{2Rh} $.

Poi calcolo $ AT = AC + CT = h + r $.

A questo punto cerco di dimostrare $ AT = AD $. Sostituendo ottengo

$ h+ r = \sqrt{2Rh} \Leftrightarrow h^2 + 2hr + r^2 = 2Rh $

Ricavando $ R $ dalla relazione su scritta e sostituendo, si ottiene un'identità. Dunque $ ADT $ è isoscele su base $ DT $.