OliForum Matematico

Sia ABC un triangolo.Siano AM e CN due mediane,e sia G il baricentro.
Dimostrare che il quadrilatero BMGN è circoscrittibile se e solo se ABC è isoscele sulla base AB

Sei sicuro che la base non debba essere $ AC $?
Se provi con $ AC=BC \neq AB $ non funziona.....

Have you any non metric solution to this problem ?

Of cource, it is easy to find that $ 3(c-a) = 2(m_c-m_a) $ .Then using the median formulae , we find a=c.

Μπάμπης

beh chiaramente la tesi equivale a dimostrare che $ a>c \ \Longleftrightarrow \ m_a < m_c $

notazioni cone in figura:



Chiamiamo inoltre K il piede della altezza da B a CA e N il punto medio di AC e r l'asse di DF.

Chiaramente $ AD=2 m_a $ e $ AF = 2 m_c $.

Ora $ c<a \ \Longleftrightarrow \ N \in \overline{CK} \ \Longleftrightarrow \ r \cap \overline{AF} \neq \emptyset \ \Longleftrightarrow \ AD < AF \ \Longleftrightarrow \ m_a < m_c $