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Mostrare che 41 non può essere espresso come differenza di una potenza di 2 e di una potenza di 3,cioè che non può sussistere nessuna delle due uguaglianze seguenti:

41=(2^n)-(3^m) , 41=(3^n)-(2^m)

con n,m interi positivi.

Il secondo tasto in alto al centro, dopo FAQ, è Cerca. Link 1, Link 2, Link 3.

Caso 1: $ 41=3^n-2^m $
Modulo 3: $ m=2m_1 $
Modulo 4: $ n=2n_1 $
$ 41=9^{n_1}-4^{m_1} $
Modulo 5: $ 1\equiv(-1)^{n_1}-(-1)^{m_1} $
Assurdo perché $ RHS\in\left\{-2, 0, 2\right\}\pmod{5} $

Caso 2: $ 41=2^n-3^m $
Modulo 3: $ n=2n_1+1 $
Modulo 4: $ m=2m_1+1 $
$ 41=2\cdot4^{n_1}-3\cdot9^{m_1} $
Chiaramente $ n_1\ne0 $, dunque assurdo modulo 8: $ 1\equiv0-3 $

Guardate dov'era anche..
(TST Cina 1995) Trovare il più piccolo $ p \in \mathbb{P} $ tali che non esiste $ (x,y) \in \mathbb{N}^2 $ che verifica $ p=|3^x-2^y| $.