OliForum Matematico

La Scuola Sant’Anna ha deciso di partecipare al campionato di Formula Uno con una vettura, e si sta preparando per il prossimo gran premio che si svolgerà sul
circuito di Montecarlo (comune della provincia di Lucca). I suoi ingegneri hanno a disposizione i seguenti dati:
- la gara consiste in 120 giri di pista;
- la capacità del serbatoio della vettura permette, se necessario, di completare la gara senza alcun pit-stop.
- Per un pit-stop si impiegano 30 secondi in totale, compresi i tempi di rallentamento ed accelerazione, indipendentemente dalla quantità di carburante immessa;
- per ogni giro si consumano, indipendentemente da ogni
altro parametro, 3 kg di carburante;
- il tempo di percorrenza di un giro aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni kg di carburante in più presente nel serbatoio all’inizio del giro stesso;

Determinare la strategia (cioè il numero dei pit-stop da effettuare ed i giri nei quali effettuarli) per permettere di terminare la gara nel minor tempo possibile.


So che è abbastanza facile... E' per controllare di aver fatto giusto

Provo a risolverlo.

Chiamo $ R $ il record del giro (ovvero il tempo impiegato per percorrere un giro con tre kg di carburante).

Vediamo quando un pit-stop diventa vantaggioso:
-Tempo di percorrenza di $ 2k $giri senza pit-stop = $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 $
-Tempo di percorrenza di $ 2k $ giri con un pit-stop = $ 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2) $

A questo punto trovo quando $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 > 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2 $.
Svolgo i calcoli e ottengo che il pit-stop stop è vantaggioso quando devo compiere più di $ 29.48 $ giri.

Se faccio un pit stop ogni 30 giri, mi basta fare 3 pit stop rispettivamente ai giri 30-esimo, 60-esimo e 90-esimo.

Il tempo che impiego in totale è $ 4*(30R + 30*31/2*0.09)+ 3*30 =120R + 257.4 $

A me viene che la strategia migliore è fare 4 pit-stop, dividendo quindi il totale di 120 giri in 5 parti da 24 giri.

Infatti il tempo impiegato in funzione del numero n di pit-stop vale

$ \displaystyle t_{tot} = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $

che poi corrisponde alla tua formula per n=3.

Si trova che il minimo sarebbe per n=3.6. Poiché n è intero si prova per n=3 e n=4 e viene rispettivamente 257.4 (probabilmente hai sbagliato a scrivere il risultato perché anche nella tua formula risulterebbe così) e 255.

Si, hai ragione, ho sbagliato i calcoli, e adesso ho corretto.

Ma come hai fatto, partendo dalla tua fomula, a trovare che il minimo è 3,6?

E dove stà l'errore nel mio ragionamento?

Iuppiter ha scritto:Ma come hai fatto, partendo dalla tua fomula, a trovare che il minimo è 3,6?

Il minimo lo trovi studiando il segno della derivata della funzione t(n) pensando n reale.

La funzione abbiamo visto che è
$ \displaystyle t(n) = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $

La cui derivata è

$ \displaystyle t'(n)= \frac {30n^2+60n-6180} {(n+1)^2} $

che è uguale a zero per $ \displaystyle n=\frac {6 \sqrt{15}} {5}-1 \approx 3.6 $,
maggiore di zero per $ n > 3.6 $ e minore di zero per $ n<3.6 $.

(C'è ovviamente una seconda soluzione dell'equazione $ t'(n)= 0 $ ma essendo negativa va esclusa)

La funzione risulta quindi decrescente prima di 3.6 e crescente dopo, quindi 3.6 è un minimo. Ovviamente essendo n intero non può valere 3.6, allora provo per sostituzione con 3 e 4 e vedo che per n=4 è minore che per n=3, quindi ho trovato il minimo.

Iuppiter ha scritto:E dove stà l'errore nel mio ragionamento?

La formula finale che hai trovato è esattamente come la mia, quindi è sbagliata qualche considerazione fatta precedentemente sul numero di giri per cui diventa vantaggioso il pit-stop.

Comunque anche la mia risoluzione non è da prendere per oro colato...

Grazie della spiegazione...peccato che non sappia cosa siano le derivate...

Non vorrei dire una cavolata perchè non ho mai studiato le derivate, gli integrali e il calcolo infinitesimale e tutta quella roba lì, però mi sembra di ricordare qualcosa...

In pratica, se prendi una funzione qualsiasi e immagini di tracciarne il grafico su un piano cartesiano, la derivata di quella funzione in un suo punto P è la pendenza della tangente alla funzione in P...

Però è meglio che uno più esperto confermi e spieghi meglio, perchè oltre a questo non so andare...

mrossi ha scritto: $ \displaystyle t(n) = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $

La cui derivata è

$ \displaystyle t'(n)= \frac {30n^2+60n-6180} {(n+1)^2} $

quindi ad esempio con n=4 abbiamo che

$ \displaystyle t(4) = 120R + 30\cdot 4+ (4+1)\frac{\frac{120}{4+1}\cdot (\frac{120}{4+1}+1)}{2}\cdot 0.09 = 120R + 255 $

e se riporti $ t(n) $ su un piano cartesiano con
$ n $ sulle ascisse e $ t(n) $ sulle ordinate, ottieni un certo grafico, la cui pendenza nel punto di ascissa $ n = 4 $ sarà:

$ \displaystyle t'(4)= \frac {30\cdot 4^2+60\cdot 4-6180} {(4+1)^2} = -218.4 $

Non ti so dire però come si arriva a trovare la derivata

Scusami non sapevo che non le avessi ancora studiate.

Comunque, come ha detto Daedalus, il significato geometrico della derivata f'(x) di una funzione f(x) è il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto x alla funzione nel piano cartesiano.

La definizione invece dice che la derivata è il limite del rapporto incrementale, ovvero:
se considero due valori $ x_1 $ e $ x_2 = x_1 + \Delta x $ e i corrispondenti valori $ f(x_1) $ e $ f(x_2)=f(x_1 + \Delta x) $ , la derivata è il valore limite di

$ \displaystyle \frac {f(x_1+ \Delta x) - f(x_1)} {x_1 + \Delta x - x_1} $

supponendo di prendere un intervallo $ \Delta x $ sempre più piccolo.

Esistono poi delle varie regole di derivazione che permettono di ricavare l'espressione della funzione derivata partendo dall'espressione della funzione primitiva.

Ad esempio la derivata d una retta f(x) = ax + b è la funzione costante f'(x) = a (prova a pensare al significato geometrico di derivata), quella di una parabola $ f(x)=ax^2+bx+c $ è $ f'(x)=2ax+b $ eccetera...

La derivata è molto importante nello studio di funzioni perché dà informazioni sull'andamento della funzione primitiva, soprattutto permette di stabilire se è crescente o decrescente (rispettivamente quando la derivata è positiva e negativa) e quindi di trovare i punti in cui la funzione ha valore minimo o massimo.

Grazie 1000 a tutti e due. Chiarissimi