OliForum Matematico

Vorrei postare questi 2 problemi che sono relativamente semplici, ma di cui non ho capito la soluzione proposta...se qualcuno scrivesse la sua personale soluzione qui sarebbe gradito:

1) Trovare le possibili combinazioni di 5 cifre (da 0 a 9) tali che:
- il numero è pari;
- esattamente una delle 5 cifre è dispari;
- compaiono 4 cifre diverse, la cifra ripetuta è pari e compare in 2 posizioni non consecutive.

2) Abbiamo una tabella quadrata di lato 203 caselle. Le caselle sono colorate in bianco e nero a cornici concentriche alternate; la cornice esterna è nera. Qual è la differenza tra il numero di caselle nere e bianche?

P:S.: Per quanto riguarda il secondo ho una mia soluzione (ovviamente diversa da quella ufficiale) che non mi pare affatto sbagliata, eppure non mi torna!!! Se qualcuno si cimenta un po' gliela proporrò in esame.

Sarlanga... ti premetto che il primo è tra gli esercizi più brutti, lunghi e contosi mai figurati in un febbraio secondo me xD
E tra l'altro non sono mai riuscito a far quadrare i miei conti con quelli proposti quindi lì non ti posso proprio aiutare xD
Il secondo invece è carino... praticamente nota che tra una cornice nera e quella subito interna bianca c'è una differenza di caselle pari a 4... mi pare anche ovvio facendo il disegno ;)
e poi sfrutta questo fatto... intanto conti quante cornici ci sono... 203-1/2=101 perciò anche la cornice più interna (formata da una sola casella) è nera. Le coppie nera-bianca sono 50 precise... quindi il risultato è 50x4+1=201... spero di non aver toppato tutto :)

Sul primo problema, saresti in grado di dare una sorta di soluzione lo stesso, così ci confrontiamo (e magari arriviamo alla soluzione)???
Sul secondo ho ancora qualche dubbio...io avevo ragionato così:
il numero di caselle per ogni cornice di lato n è $ 4(l-1) $
quindi la somma delle nere sarà (a partire da n=203) $ N=4((203-1)+(199-1)+...+(3-1)) $ perchè c'è una differenza di 4 tra il lato di cornice nero e quello nero subito successivo.
le bianche invece saranno $ B=4((201-1)+(197-1)+...+(5-1)+1) $ poichè secondo me - al contrario di quello che hai scritto te - la casella interna deve essere bianca.
Ora, sottraendo $ N-B $ a me viene una differenza $ D=4(2(50)+1)=404 $ mentre il risultato è 407...(mi dispiace ma non è 201)
fatemi sapere dove sbaglio!!!

il primo non è cosi brutto dai...per semplificarlo facciamo 4 casi a seconda di dove si trova la cifra dispari. I casi presi uno per uno sono semplici da calcolare e poi basta sommarli. Prova e se incontri altre difficoltà dillo che magari scendo più nel dettaglio

dario2994 ha scritto: e poi sfrutta questo fatto... intanto conti quante cornici ci sono... 203-1/2=101

Le cornici (compresa quella degenere composta da una sola casella) sono $ $\frac{203+1}{2} = 102$ $ e la casella centrale è bianca

Haile ha scritto:

dario2994 ha scritto: e poi sfrutta questo fatto... intanto conti quante cornici ci sono... 203-1/2=101

Le cornici (compresa quella degenere composta da una sola casella) sono $ $\frac{203+1}{2} = 102$ $ e la casella centrale è bianca

Ops xD

L'idea è giusta, sbagli qualche conto, anche se non vedo dove.

Assodato che una cornice di lato $ $n$ $ ha $ $4(n-1)$ $ caselle (formula non applicabile alla casella centrale bianca!), abbiamo che

* le caselle nere sono

$ $4 \sum_{k=1}^{51} (4k-2)$ $

* le caselle bianche sono

$ $4 \bigg( \sum_{k=1}^{50} 4k \bigg) + 1$ $


sottraendo tra loro e separando le sommatorie per poter semplificare:

* $ $4 \bigg( 4 \cdot 51 + \sum_{k=1}^{50} 4k - \sum_{k=1}^{51} 2 - \sum_{k=1}^{50} 4k \bigg) - 1$ $

* $ $4 (204 - 102) - 1 = \boxed{407}$ $

Assodato che una cornice di lato ha caselle (formula non applicabile alla casella centrale bianca!), abbiamo che

* le caselle nere sono

$ 4 \sum_{k=1}^{51} (4k-2) $


* le caselle bianche sono

$ 4 \bigg( \sum_{k=1}^{50} 4k \bigg) +1 $

sono convinto che il tuo sia il ragionamento giusto, ma mi spieghi come arrivi a dire
$ 4 \sum_{k=1}^{51} (4k-2) $ ? e $ 4 \bigg( \sum_{k=1}^{50} 4k \bigg) +1 $ ?
grazie
P.S.: Scusa devo ancora prendere la mano con tex

Non ho capito cosa dovrei spiegare meglio.

Se ti riferisci al conteggio delle caselle, l'ho scritto via sommatoria semplicemente per questioni di compattezza e semplicità di calcolo.

SARLANGA ha scritto: le bianche invece saranno $ B=4((201-1)+(197-1)+...+(5-1)+1) $

ci ho messo un po' ma finalmente ho trovato l'errore:l'1 finale va fuori dalla parentesi. Se rifai i calcoli ti viene 407, come nella soluzione di haile.

Soluzione alternativa: la differenza tra la 2 cornici successive è di 8 caselle tranne che per le prime 2 per le quali la differenza è 7. Le cornici totali sono 102, quindi 51 coppie. Quindi la differenza finale sarà $ 50*8+7=407 $

Maioc92 ha scritto:

SARLANGA ha scritto: le bianche invece saranno $ B=4((201-1)+(197-1)+...+(5-1)+1) $

ci ho messo un po' ma finalmente ho trovato l'errore:l'1 finale va fuori dalla parentesi. Se rifai i calcoli ti viene 407, come nella soluzione di haile.

Soluzione alternativa: la differenza tra la 2 cornici successive è di 8 caselle tranne che per le prime 2 per le quali la differenza è 7. Le cornici totali sono 102, quindi 51 coppie. Quindi la differenza finale sarà $ 50*8+7=407 $

Sei un grande Maioc92!!! Non sai che piacere fa di sapere dove si è sbagliato...
Riguardo al primo problema, la distinzione nei 4 casi che hai detto non mi sembra tanto facile, se riesci a risolvermene almeno uno dei 4, poi i conti li faccio io se vuoi...
cmq la soluzione ufficiale dice:
Il numero di modi di disporre 2 oggetti su n spazi in modo che non siano consecutivi è $ \binom {n-1} 2 $. Si può pensare infatti di disporli senza restrizioni su n-1 spazi e poi inserire un nuovo spazio vuoto tra di essi.
Poi questa formula la usa (moltiplicata per 3 )per trovare i modi validi di fissare le posizioni delle 2 cifre uguali e della cifra dispari. Dalle 18 posizioni che così trova, toglie $ \binom {4-1} 1= 3 $ perchè la cifra dispari è in ultima posizione e la doppia ha 4 posti a disposizione. In tutto trova 15 modi di fissare le posizioni, moltiplicati poi per 5*5*4*3 trova 4500.
A voi pare chiara come spiegazione? L'avevate mai trovata una formula del genere per oggetti non consecutivi?
@matematici_esperti: quando siete di fronte alla combinatoria per oggetti consecutivi, ricorrete sempre allo sviluppo in casi? Quali formule combinatorie usate?
grazie

Puoi anche ricavarla con inclusione esclusione: non consecutivi = totali - consecutivi.
Ma totali è $ \displaystyle\binom{n}{2} $; consecutivi è $ n-1 $. Guarda caso $ \displaystyle\binom{n}{2}-(n-1)=\binom{n-1}{2} $.
Comunque l'idea che sfrutta la soluzione ufficiale è chiarissima e più rapida. Cerca di tenere a mente trucchetti (banali) del genere.

FeddyStra ha scritto:Puoi anche ricavarla con inclusione esclusione: non consecutivi = totali - consecutivi.
Ma totali è $ \displaystyle\binom{n}{2} $; consecutivi è $ n-1 $. Guarda caso $ \displaystyle\binom{n}{2}-(n-1)=\binom{n-1}{2} $.

Quello che non mi torna della soluzione così "chiara" (a te, ma a me ancora non troppo) è questa: se anche seguo il tuo ragionamento, FeddyStra, i modi totali di disporre 2 oggetti su n spazi non dovrebbero essere secondo la definizione di combinazione $ \displaystyle\binom{2}{n} $??? Ti prego di portare pazienza con un "cane" come me!!!

Alt!
Definizione: si dice coefficiente binomiale e si indica con $ \displaystyle \binom{n}{k} $ il numero di collocare k oggetti in n posti. Le altre proprietà poi le puoi andare a vedere nel link. Per esempio, la formula del binomio di Newton dice che $ \displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k} $.

Occhio al fatto che si indica con $ \displaystyle \binom{n}{k} $ e non $ \displaystyle \binom{k}{n} $. Quindi, il numero di coppie tra n oggetti è $ \displaystyle \binom{n}{2} $ e non $ \displaystyle \binom{2}{n} $. Non farti ingannare dal fatto che si legge "n su 2": in realtà è il numero di modi di prendere 2 oggetti tra n.

si dice coefficiente binomiale e si indica con $ \binom{n}{k} $ il numero di collocare k oggetti in n posti

Abbi pazienza, ma se il coefficiente binomiale $ \binom{n}{k} $ corrisponde alle combinazioni semplici di n elementi di classe k (questo leggo sul mio libro), non è forse il numero di modi di collocare n elementi in k spazi? Es.: al superenalotto le combinazioni possibili non sono forse $ \binom{90}{6} $, cioè i modi in cui collocare 90 oggetti in 6 posti? Non vorrai dirmi che calcoli il numero di combinazioni suddetto con $ \binom{6}{90} $???