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Provare che se $ \alpha $ , $ \beta $ , $ \gamma $ sono angoli di un triangolo, allora vale
$ \cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}>1 $

Molto originale

Per il teorema di Carnot
$ \cos{\alpha} = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $ e cicliche.

Sostituisco ottenendo
$ \sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} >1 $
e moltiplicando per $ 2abc $ ottengo
$ \sum_{cyc} c(a^2+b^2-c^2) > 2abc $

Dunque resta da dimostrare che
$ \sum_{cyc} c(a^2+b^2-c^2) - 2abc > 0 $.

Il LHS è uguale però a $ \sum_{cyc}(a+b-c) $ dunque rimane da dimostrare che

$ \sum_{cyc} (a+b-c) > 0 $ che è vera perchè ciascuno dei tre membri del prodotto che compone LHS è positivo per la disuguaglianza triangolare.

si può fare anche solo con gli angoli; propongo i passaggi fondamentali:

* wlog, supponiamo che, se il triangolo è ottuso, gamma sia il suo angolo ottuso, e che quindi alpha e beta siano in ogni caso acuti (questo serve alla fine)

-siccome $ $\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$ $ si ha $ $\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)$ $. Sostituendo e sviluppando un po', e poi raccogliendo, si ottiene

$ \[ (\cos\alpha-1)(\cos\beta-1)<\sin\alpha\sin\beta\] $

-ora voglio esprimere tutto in coseno di alpha e di beta, quindi scrivo $ $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ $ e $ $\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}$ $, dato che alpha e beta sono tra 0 e pi greco /2, quindi i seni sono positivi. Sostituisco nella disuguaglianza, elevo al quadrato (tanto i due membri sono positivi) e la scrivo così:

$ \[(\cos\alpha-1)^2(\cos\beta-1)^2<(\cos^2\alpha-1)(\cos^2\beta-1)\] $

-posso scomporre le differenze di quadrati e dividere tutto per $ $(\cos\alpha-1)(\cos\beta-1)$ $ che tanto è positivo. Con qualche conto si ottiene

$ $\cos\alpha+\cos\beta>0$ $

che è vera per *



PS: ho dovuto dividere il messaggio in due perchè latex era impazzito

fede90 ha scritto:PS: ho dovuto dividere il messaggio in due perchè latex era impazzito

Succede quando metti un segno di minore e poi uno di maggiore (anche distanziati): ti mangia tutto quel che c'è in mezzo.

Per evitarlo, in basso, al momento di inviare il tuo post, metti la spunta su "Disabilita HTML nel messaggio"

$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac{r}{R} $

Si può anche dimostrare basandosi solo sugli angoli,e qualcuno ci può provare, che è :

$ \dsiplaystyle \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $

E poiché $ \displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}>0 $ segue l'asserto

Praticamente equivalente, seppur personalmente preferisco la via algebrica.. a proposito karl, potresti postare la soluzione al tuo quesito ultimo qua (e magari ce ne proponi uno nuovo)?