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lucs223 ha scritto:ecco un vecchio quesito del sant'anna su cui vorrei un aiuto grazie mille

dimostrare che ogni intero positivo può essere scritto ed in modo unico nella forma:

$ a_1\cdot 1!+ a_2\cdot 2!+ a_3\cdot 3!+ \dots +a_k\cdot k! \ , \quad 0\leq a_i \leq i \ , \quad a_k\neq 0 $

Igor ha scritto:Lemma

$ 1*1!+2*2!+\ldots +n*n!=(n+1)!-1 $

Si dimostra facilmente per induzione.

Ammettiamo ora che,fissato $ n $,esistano $ k\in\mathbb{N}_0 $ e una sequenza di interi $ a_1,a_2,\ldots ,a_k $ tali che $ n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots +a_k*k! $,$ a_k\neq 0 $ e $ 0\leq a_1\leq i $ per ogni $ i=1,2,\ldots ,k $.Dimostriamo che sono gli unici a verificare queste condizioni.

Verifichiamo dapprima che $ k $ è determinato univocamente.

Per ogni $ n $ vale infatti $ h!\leq n<h>h $, avremo che il termine $ a_k*k! $ vale almeno $ (h+1)! $, in contrasto con l'ipotesi $ n<(h+1)! $.
Se invece fosse $ k<h $, avremo che $ n $ vale al massimo $ 1*1!+2*2!+\ldots +(h-1)*(h-1)!=h!-1 $, in contrasto con l'ipotesi $ n\geq h! $.

Dimostriamo ora che $ a_k $ è univocamente determinato.Ammettiamo infatti che esista un'altra sequenza di interi $ b_1,b_2,\ldots ,b_k $, con $ b_k\neq a_k $ che verifica le condizioni poste.Avremo allora che

$ n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots +a_k*k! $

$ n=b_1*1!+b_2*2!+\ldots +b_k*k! $

Sottraendo membro a membro le due equazioni, troviamo

$ (a_k-b_k)*k!=(b_1-a_1)*1!+\ldots +(b_{k-1}-a_{k-1})(k-1)! $

Il membro di sinistra vale almeno $ k! $, mentre il membro di destra vale al massimo $ 1*1!+2*2!+\ldots +(k-1)*(k-1)!=k!-1 $.Abbiamo trovato un assurdo: possiamo dunque concludere che $ a_k $ è univocamente determinato.

Ora dimostriamo che, se per un certo $ i=1,2,\ldots ,k-1 $ le cifre $ a_{i+1},a_{i+2},\ldots ,a_k $ sono univocamente determinate, anche la cifra $ a_i $ lo è.
Ammettiamo dunque che esista un'altra sequenza di interi $ b_1,b_2,\ldots ,b_k $, con $ b_{i+1}=a_{i+1},\ldots ,b_k=a_k $, $ b_i\neq a_i $ che verifichi la condizioni poste.Avremo allora che

$ n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots +a_k*k! $

$ n=b_1*1!+b_2*2!+\ldots +b_k*k! $

Sottraendo membro a membro troviamo

$ (a_i-b_i)*i!=(b_1-a_1)*1!+\ldots +(b_{i-1}-a_{i-1})(i-1)! $

Abbiamo già visto che questa equazione conduce ad un'assurdo, dunque $ a_i $ è determinato univocamente.

Ora, poichè $ a_k $ è determinato in maniera univoca, tutti gli $ a_i $ lo sono.

Resta ora da dimostrare che per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ esistono effettivamente $ k\in\mathbb{N}_0 $ e una sequenza di interi $ a_1,a_2,\ldots ,a_k $ tali che $ n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots+a_k*k! $,$ a_k\neq 0 $ e $ 0\leq a_1\leq i $ per ogni $ i=1,2,\ldots ,k $.

Ammettiamo che,fissato un certo $ h\in\mathbb{N}_0 $,per ogni $ 1\leq n\leq h!-1 $ esistano $ k\in\mathbb{N}_0 $ e una sequenza di interi$ a_1,a_2,\ldots ,a_k $ che verificano le condizioni poste.Avremo in questo caso $ k\leq h-1 $.
Dimostriamo ora che anche per gli $ h!\leq n\leq (h+1)!-1 $ esistono $ k\in\mathbb{N}_0 $ e una sequenza di interi $ a_1,a_2,\ldots ,a_k $che verificano le condizioni poste.Abbiamo già visto che per questi $ n $ si ha $ k=h $.Inoltre esiste univocamente determinato un $ \omega\in 1,2,\ldots h $ tale che $ \omega h!\leq n<(\omega +1)h! $.Se poniamo $ a_k=\omega $ troviamo

$ n=a_1*1!+\ldots +a_{h-1}*(h-1)!+\omega*h! $

$ a_1*1!+\ldots +a_{h-1}*(h-1)!=n-\omega*h! $

Il membro di destra di questa equazione è compreso tra $ 0 $ e $ h!-1 $
Ma per le ipotesi fatte, per ogni numero di questa forma esistono $ k\in\mathbb{N}_0 $, con $ k\leq h-1 $, e una sequenza di interi $ a_1,a_2,\ldots ,a_k $ che verificano le condizioni poste.Allora lo stesso vale anche per $ n $.Basta infatti prendere la sequenza $ a_1,a_2,\ldots ,a_m $ che genera $ n-\omega*h! $, porre $ a_h=\omega $, e porre uguali a zero gli eventuali $ a_i $ tali che $ m<i<h $, per trovare la sequenza che genera $ n $.Nel caso in cui $ n-\omega*h!=0 $, basta porre $ a_h=\omega $ e tutti gli altri $ a_i $ uguali a zero.

Ora, poichè per i numeri da $ 1 $ a $ 2!-1=1 $ esistono $ k\in\mathbb{N}_0 $ e una sequenza di interi $ a_1,a_2,\ldots ,a_k $ tali che $ n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots +a_k*k! $,$ a_k\neq 0 $ e $ 0\leq a_1\leq i $ per ogni $ i=1,2,\ldots ,k $,per induzione lo stesso vale per tutti gli $ n\in\mathbb{N}_0 $.