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Al variare di a reale, qual è il numero massimo di soluzioni dell'equazione
$ \lvert \lvert x-1 \rvert -4 \rvert +x=a $ ???

Secondo me il numero massimo di soluzioni è infinito.
Infatti ho disegnato le due funzioni $ y = \lvert \lvert x-1 \lvert -4 \lvert $ e $ y = -x+a $ (che è un fascio di rette).
A questo punto ho intersecato queste due rette e ottengo che se $ a=-3 $le due funzioni sono coincidenti $ \forall x < -3 $.

Risposta esatta, Iuppiter!!!
Ma come si fa a risolverlo senza utilizzare la geometria analitica?

Semplicemente, sviluppi a tratti i valori assoluti e ottieni
$ \displaystyle ||x-1|-4|+x=\begin{cases}-3 & x\le-3 \\ 2x+3 & -3\le x\le1 \\ 5 & 1\le x\le5 \\ 2x-5 & 5\le x \end{cases} $
Dopo di che osservi che per $ x\le-3 $ e per $ 1\le x\le5 $ la funzione è costante.

FeddyStra ha scritto:osservi che per $ x\le-3 $ e per $ 1\le x\le5 $ la funzione è costante.

Essendo costante, un qualunque valore reale di x compreso negli intervalli $ x\le-3 $ e $ 1\le x\le5 $ verifica l'equazione. Giusto? Voglio dire è formalmente accettabile una conclusione così?

Verifica l'equazione se $ a $ è scelto opportunamente (ovvero è rispettivamente $ -3 $ o $ 5 $).