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Siano $ $~*$ $ la convoluzione di Dirichlet (cioe` $ $~f*g = \sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$ $, dove la somma e` estesa a tutti i divisori di n), $ $~\mu(n)$ $ la funzione di Moebius (che vale 0 se esiste un quadrato che divide n, e $ $~(-1)^{\omega(n)}$ $ altrimenti, dove $ $~\omega(n)$ $ e` il numero di fattori primi distinti che dividono n), $ $~f^{-1}(\cdot)$ $ la funzione inversa di f rispetto $ $~*$ $ (tale cioe` che $ $~f*f^{-1} = \mathrm{Id}$ $, con $ $~\mathrm{Id(n)} = \left\lfloor\frac{1}{n}\right\rfloor$ $ la funzione identita` per *). Diciamo inoltre che una funzione f e` moltiplicativa se $ $~f(ab) = f(a)f(b) \forall a, b \in \mathbb{Z}_0^+ : (a, b) = 1$ $ (ovvero, per ogni coppia di numeri coprimi), e che f e` completamente moltiplicativa se $ $~f(ab) = f(a)f(b) \forall a, b \in \mathbb{Z}_0^+$ $.

Dimostrare che:
1. Se f e` completamente moltiplicativa, allora $ $~f^{-1}(n) = \mu(n) \cdot f(n)$ $ ($ $~\cdot$ $ e` il prodotto usuale);
2. Se f e` moltiplicativa, allora $ $~f^{-1}(n) = \mu(n) \cdot f(n) \forall n \in \mathbb{Z}_0^+ : \mu(n) \neq 0$ $;
3. Se f e` moltiplicativa, allora $ $~f^{-1}(p^2) = f(p)^2 - f(p^2)$ $, con p primo;
4. Se f e` completamente moltiplicativa, allora $ $~f^{-1}(p^k) = 0 \forall k \in \mathbb{Z}_0^+\setminus\{1\}$ $.

1- Dobbiamo provare che $ (\mu f * f)(n)=\text{Id}(n) $: è sufficiente provare la tesi per tutti gli n della forma $ p^x $ tali che $ p \in \mathbb{P}, x \in \mathbb{N} $, quindi $ \displaystyle (\mu f * f)(p^x)=\sum_{0 \le i \le x}{(\mu f)(p^i)f(p^{x-i})} $ $ \displaystyle =f(p^x)-f(p)f(p^{x-1}) $. A causa della completa moltiplicatività tale somma è nulla e la tesi segue grazie all'unicità della funzione inversa. (Qui per la cronaca si dimostra che l'inversa di una funzione moltiplicativa è anch'essa moltiplicativa).
2- E' sufficiente provare la tesi per tutti i primi $ p \in \mathbb{P} $, che è il caso $ x=1 $ del quesito 1, che non richiede la completa molticatività.
3- Sostituendo $ x=2 $ alla relazione del quesito 1 si ottiene la tesi.
4- E' un corollario del quesito 1 dato che $ \mu(p^k)=0 $ se $ k>1 $.