Prima cifra di 2^{81}
Inviato: 08 set 2009, 05:35
Trovare (senza calcolatrice, computer e programmi vari) la prima cifra di $ 2^{81} $. 
In decimale non è difficile, quindi lo lascio qui per adesso.
OliForum Matematico
il forum ufficiale delle olimpiadi della matematica
https://www.oliforum.it/
Prima cifra di 2^{81}
Pagina 1 di 1
Inviato: 08 set 2009, 11:14
In binario è 1
In decimale non è difficile, quindi lo lascio qui per adesso.
In decimale non è difficile, quindi lo lascio qui per adesso.
Inviato: 08 set 2009, 13:28
$ 2^{81} =2\cdot (1024)^8 =2\cdot (1000+24)^8 $
Nella parentesi, l'esponente più grande con cui compare 10 è $ 10^{24} $, mentre il secondo fattore è $ \binom{8}{1} \cdot 24 \cdot 10^{21} $ , quindi la parentesi è un numero le cui prime due cifre sono $ 11\dots $ . In conclusione, la prima cifra di $ 2^{81} $ è $ 2 $ , perchè moltiplicando per 2 non abbiamo nessun riporto.
Nella parentesi, l'esponente più grande con cui compare 10 è $ 10^{24} $, mentre il secondo fattore è $ \binom{8}{1} \cdot 24 \cdot 10^{21} $ , quindi la parentesi è un numero le cui prime due cifre sono $ 11\dots $ . In conclusione, la prima cifra di $ 2^{81} $ è $ 2 $ , perchè moltiplicando per 2 non abbiamo nessun riporto.
Inviato: 09 set 2009, 13:40
Analizzo i residui delle potenze di 2 mod10 e concludo facilmente.
EDIT: non concludo niente, però lo faccio facilmente
EDIT: non concludo niente, però lo faccio facilmente
Inviato: 09 set 2009, 13:49
@ndp15: E che c'entrano i residui con la prima cifra? @Davide90, va bene. 
Inviato: 09 set 2009, 14:27
Facciamo che io leggo i numeri a partire dal fondo cosi tutto tornajordan ha scritto:@ndp15: E che c'entrano i residui con la prima cifra?
No dai, scusate per l'errore grossolano
