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Siano $ x,y,z $ tre numeri reali compresi tra $ 0 $ e $ 1 $.

Dimostrare che $ 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-2xyz(x+y+z) \le 3 $

$ LHS=(xy-yz-zx)^2+(yz-xy-xz)^2+(zx-xy-yz)^2 $ da cui però non so cosa si riesce a ricavare. In alternativa si può dire che un segmento parabolico "rivolto verso l'alto" ha massimo in uno dei suoi 2 estremi (o in entrambi, in un caso, ma è irrilevante)

PS:mi sono reso conto che risolvere disuguaglianze tranquillamente da casa è molto più semplice che in gara, dove ho solo scritto una marea di c*****e in una disuguaglianza anche abbastanza semplice,per poi ovviamente trovare la soluzione 10 minuti dopo la fine sigh

Wlog, supponiamo che $ x\leq y \leq z $ : allora abbiamo anche $ xy\leq xz \leq yz $ .
Applicando la disuguaglianza di riarrangiamento alla terna $ (xy;xz ;yz ) $ otteniamo quindi
$ x^2yz+xy^2z+xyz^2 \geq 2xy^2z+x^2z^2 $
quindi possiamo scrivere
$ LHS\leq 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-4xy^2z-2x^2z^2= y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2 $
Il trinomio tra parentesi ha discriminante negativo, quindi è sempre positivo. Inoltre è un paraboloide convesso, quindi avrà il proprio massimo sul contorno. Per $ x=0 $, il trinomio vale $ 3z^2 $, per $ x=1 $ vale $ 3z^2-4z+3 $, che a sua volta è convesso e ha il proprio massimo nell'intervallo $ [0;1] $ in $ z=1 $, dove vale 2.
Dunque la condizione che massimizza il trinomio è $ x=z=1 $, ed è anche quella che massimizza il termine $ x^2z^2 $ . Massimizzando $ y^2 $ con 1, otteniamo infine
$ LHS\leq y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2\leq 1\cdot 2+1=3 $

Non sono sicuro che vada bene, quindi correggete pure se ce n'è bisogno...

l'idea va bene,infatti è questa la tecnica standard per disuguaglianze di questo tipo
La prima parte di riarrangiamento non è strettamente necessaria ma mi pare che tu la usi per semplificarti i calcoli quindi credo vada bene

Davide90 ha scritto:Per $ x=0 $, il trinomio vale $ 3z^2 $, per $ x=1 $ vale $ 3z^2-4z+3 $, che a sua volta è convesso e ha il proprio massimo nell'intervallo $ [0;1] $ in $ z=1 $, dove vale 2.
Dunque la condizione che massimizza il trinomio è $ x=z=1 $, ed è anche quella che massimizza il termine $ x^2z^2 $

Questi passaggi mi lasciano un po' perplesso....intanto perchè hai escluso a priori il caso x=0?
Comunque sfruttando sempre questa idea puoi concludere facilmente dicendo che comunque siano fissate 2 delle 3 varibili la parabola ha massimo quando la terza è 1 o 0, e poi provi tutte le terne composte solo di 0 e 1.

Invece per quel che riguarda lo scrivere il LHS come somma di quadrati mi convinco sempre più che per quel che riguarda il massimo è inutile. Però volendo da li si può dire tranquillamente che il minimo è 0, giusto per trovargli una qualche utilità