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Stavo ragionando sul problema della sfera con i due poli identificati. Si riesce a mostrare che una sfera con i poli identificati è omotopicamente equivalente a $ S^2 \vee S^1 $ (cioè: una sfera attaccata ad un punto con una circonferenza). Mi sono chiesto: sarà vero un risultato generale? Cioè, se prendo uno spazio $ X $ con proprietà opportune (quali?), e considero il quoziente $ X/_\sim $ ottenuto identificando due punti distinti di $ X $, sarà vero che $ X/_\sim $ è omotopicamente equivalente a $ X \vee S^1 $?

A occhio direi che basti che i due punti identificati siano connessi con un arco C in X, in modo che X e X/C siano omotopicamente equivalenti (es: qualsiasi varietà connessa). Perché questo sia vero credo che dovrebbe bastare che C sia coperto da aperti contraibili. Via ai controesempi alla mia faciloneria...