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Sono dati tre interi positivi a, b, c. Posto x = ab, y = ac, z = bc, si dimostri che : se x, y, z sono dei cubi, allora a, b, c sono dei cubi.

P.S.: A mio avviso questo poteva essere da Cesenatico, altro che numero 3 di una gara di Febbraio!

Prendi un numero primo $ p $ e poni $ p^\alpha \parallel a,\ p^\beta \parallel b,\ p^\gamma \parallel c $. Cosa puoi dire su $ \alpha, \beta, \gamma \pmod3 $?

SARLANGA ha scritto:P.S.: A mio avviso questo poteva essere da Cesenatico, altro che numero 3 di una gara di Febbraio!

I hope you're joking.. $ a^2=xyz^{-1} \in \mathbb{Z} $ è un cubo per ipotesi, per cui lo è anche $ a $.

FeddyStra ha scritto:Prendi un numero primo $ p $ e poni $ p^\alpha \parallel a,\ p^\beta \parallel b,\ p^\gamma \parallel c $. Cosa puoi dire su $ \alpha, \beta, \gamma \pmod3 $?

Che simbolo è $ \parallel $?

Divide esattamente. Hai che $ 3 \mid \text{gcd}(\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha) $ per cui $ 3 \mid \text{gcd}(\alpha,\beta,\gamma) $.

SARLANGA ha scritto:

FeddyStra ha scritto:Prendi un numero primo $ p $ e poni $ p^\alpha \parallel a,\ p^\beta \parallel b,\ p^\gamma \parallel c $. Cosa puoi dire su $ \alpha, \beta, \gamma \pmod3 $?

Che simbolo è $ \parallel $?

Indica che alfa è il massimo esponente per il quale $ $p^\alpha$ $ divide $ $a$ $:


$ $p^\alpha \parallel a ~ \Rightarrow ~ p^\alpha | a ~ \text{ e } ~ p^{\alpha+1} \not| a$ $