SNS 2009-2010 per chimici
Inviato: 13 set 2009, 00:50
Si dimostri che il numero $ 0,182764... $, ottenuto mettendo in fila tutti i cubi perfetti in ordine crescente, e' irrazionale.
Un numero è razionale se e solo se la sua scrittura decimale "prima o poi" diventa periodica (eventualmente con periodo 0).
Ci basta dimostrare allora che quel numero non può essere periodico.
Ma questo è evidente se notiamo che possiamo sempre trovare una sequenza di cifre 0 arbitrariamente lunga, corrispondente al cubo delle potenze di dieci. In altre parole, supponendo per assurdo che quel numero abbia periodo di n cifre, possiamo sempre trovare una successione di m zeri consecutivi, con m maggiore di n, il che è evidentemente un assurdo (perchè il periodo non può essere costituito interamente da zeri).