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Dimostrare che per ogni $ k \in \mathbb{N}^+ $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che l'insieme $ \{x \in \mathbb{N} | n \leq x \leq n+k\} $ non contiene numeri primi.

prendiamo un n sufficientemente grande tale che esistano k+1 primi distinti minori di n, e chiamiamo questi primi $ p_i $ con $ 0\le i\le k $. A questo punto impostiamo il sistema
$ n\equiv 0\pmod{p_0} $
$ n+1\equiv 0\pmod{p_1} $
.......
$ n+i\equiv 0\pmod{p_i} $
.......
$ n+k\equiv 0\pmod{p_k} $

Per il teorema cinese del resto il sistema ha soluzione (unica mod il prodotto dei p) ma infinite altrimenti.
Può andare?

Siano

k+2 < m

n = am! + 2

Se consideriamo

$ $a \cdot m!+2, \quad a \cdot m!+3, \quad \dots \quad a \cdot m!+(k+2)$ $

Ha k numeri consecutivi e non contiene primi per infiniti a interi, poichè il primo elemento è divisibile per 2, il secondo per 3, ... l'ultimo per (k+2),

a) Dimostrare che per ogni $ k \in \mathbb{N}_0 $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N}_0 $ tali che l'insieme $ \{x \in \mathbb{N}_0 | n \leq x \leq n+k\} $ non contiene potenze h-esime di interi con h>1.
[edit punto b:cazzata del secolo]

Il punto b) non mi convince troppo... non c'era un teorema che diceva che le uniche potenze consecutive sono 8 e 9?

Very sorry..