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siano $ x_1,...,x_n $ numeri reali.dimostrare che :

$ x_{1}^{n+1} +x_{2}^{n+1} +.....+x_{n}^{n+1} \geq x_{1} x_{2}....x_{n}(x_{1}+....+x_{n}) $


EDIT:reali positivi

Sto probabilmente sparando una cazzata epica... ma provo.
Posso riscrivere LHS come:
$ \displaystyle\frac{\sum_{sym}x_1^{n+1}x_2^0x_3^0\dots x_n^0}{(n-1)!}=LHS $
Invece RHS è riscrivibile come:
$ \displaystyle\frac{\sum_{sym}x_1^2x_2x_3\dots x_n}{(n-1)!}= RHS $
Ora devo dimostrare la disuguaglianza sulle 2 sommatorie simmetriche... ma quella dovrebbe essere vera per bunching...

p.s. sono abbastanza sicuro di aver toppato da qualche parte (forse non ho capito il bunching xD)... se c'è ditemi dov'è l'errore xD

EDIT: Penso di aver trovato l'errore... la prima sommatoria simmetrica non corrisponde al vero LHS, ma dovrebbe essere aggiustabile... perchè è come se da tutte e 2 le parti moltiplico per n! (o n-1! xD)

EDIT 2: dovrei aver aggiustato

Non puoi usare il bunching, perché servono reali positivi, mentre qui sono reali qualunque. Dovrebbe venire per riarrangiamento, credo

No spe.... sui reali mi pare falsa... se fisso:
$ x_1=0 $
$ x_2=-1 $
Dovrei ottenere un assurdo.

hm si hai ragione...è sui reali positivi..anche io avevo provato per bunching...mi sembra corretta...

è vero che magari si fa con il bunching anche solo per imparare a usarlo,però sarebbe come bombardare una montagna di fieno. E' sufficiente dargli fuoco

pak-man ha scritto: Dovrebbe venire per riarrangiamento, credo

comunque mi è venuta in mente un'altra strada:
la disuguaglianza è omogenea quindi possiamo porre la somma o il prodotto degli x uguale a 1 e usare le medie

perchè puoi porre che è uguale a 1?

Premetto la nota relazione:
(A) $ \displaystyle \frac{x_1^k+x_2^k+...+x_n^k}{n}\ge(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^k $

Supponiamo che sia :
$ \displaystyle x_1\ge x_2 \ge x_3...\ge x_n>0 $

Allora ho:
$ \displaystyle (x_i-x_j)(x_i^n-x_j^n)\ge 0 $

Da cui :

$ \displaystyle x_i^{n+1}+x_j^{n+1}\ge x_i^nx_j+x_ix_j^n $

Estendendo tale relazione a tutte le coppie di indici (i,j) con i<j
e sommando ottengo :

(B) $ \displaystyle (n-1)\sum_1^n x_i^{n+1} \ge \sum_{i<j}(x_i^nx_j+x_ix_j^n) $

e aggiungendo ad entrambi i membri $ \displaystyle \sum_1^n x_i^{n+1} $ risulta:

$ \displaystyle n\sum_1^n x_i^{n+1} \ge \sum_1^n x_i^{n+1}+ \sum_{i<j}(x_i^nx_j+x_ix_j^n) $

Scomponendo in maniera opportuna il secondo membro:

(C) $ \displaystyle n\sum_1^n x_i^{n+1} \ge \sum_1^n x_i^n \cdot \sum_1^n x_i $

E da qui:

$ \displaystyle \sum_1^n x_i^{n+1} \ge \frac{\sum_1^n x_i^n }{n}\cdot \sum_1^n x_i $

E per la (A) ( con k=n):

$ \displaystyle \sum_1^n x_i^{n+1} \ge (\frac{\sum_1^n x_i}{n})^n \cdot \sum_1^n x_i $

Infine per AM-GM :

$ \displaystyle x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+...+x_n^{n+1} \ge (x_1x_2...x_n)(x_1+x_2+...+x_n) $

N.B. I passaggi (B) e (C ) sono difficili da scrivere per esteso in LaTeX ( almeno per me !!) .
Conviene verificarli per qualche valore di n ( n=3,per esempio)
Per n=3,usando come variabili a,b,c abbiamo:

$ \displaystyle a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3 $
$ \displaystyle a^4+c^4 \ge a^3c+ac^3 $
$ \displaystyle b^4+c^4 \ge b^3c+bc^3 $
Sommando:
$ \displaystyle 2(a^4+b^4+c^4) \ge $$ a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3 $

Ed aggiungendo $ \displaystyle a^4+b^4+c^4 $:

$ \displaystyle 3(a^4+b^4+c^4) \ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3 $

Ovvero:
$ \displaystyle 3(a^4+b^4+c^4) \ge a^3(a+b+c)+b^3(a+b+c)+c^3(a+b+c) $

E dunque:
$ \displaystyle 3(a^4+b^4+c^4) \ge (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) $
che equivale alla (C)