OliForum Matematico

Aiutate questo sporco fisico a correggere il suo problema
Trovare tutte le funzioni $ $ f $ da $ $ \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ tale che $ $ f(x^a) = f(x)^a \,\,\forall x \in \mathbb{R}^+ \,\,\forall a \in \mathbb{R} $

Bon ci provo:
Fisso x=e da cui ottengo:
$ f(e^a)=f(e)^a $
Ora noto che e^a assume qualsiasi valore nei positivi quindi sostituisco k=e^a:
$ f(k)=f(e)^{\log(k)} $
Ora per dimostrare che vanno bene tutte le funzioni in questa forma, per ogni valore di f(e) sostituisco nell'ipotesi chiamando f(e)=b:
$ \displaystyle b^{\log{x^a}}=\left(b^{\log{x}}\right)^a $
Sfruttando le proprietà delle potenze e dei logaritmi risulta che quest'uguaglianza è vera.
Spero di non aver detto qualche enorme cazzata xD

EDIT:errore mio
A quanto pare tra l'altro interpreto sempre male i problemi perchè pensavo che a fosse un parametro. Boh in ogni caso ho veramente sonno quindi vado a dormire

Perché riscritto in modo diverso le ipotesi? Ha trovato che le funzioni sono tutte e sole quelle della forma $ $f(x)=b^{\log{x}} $ con $ $b\in \mathbb{R^+} $. Ah, faccio notare che si poteva riscrivere $ $f(x)=b^{\log{x}}=e^{\log{x}\cdot\log{b}}=x^{\log{b}}=x^c $ con $ $c\in \mathbb{R} $

La mia dimostrazione si basava sulle stesse idee, solo che in gare mi e` venuta leggermente contorta:

Sia $ $~b := log_2 f(2)$ $; ora, o $ $~\forall x\in \mathbb{R}^+, f(x) = x^b$ $ (tesi), oppure $ $~\exists m\in \mathbb{R}^+ : f(m) = m^b + h, h\neq 0$ $. Allora la relazione, fissando $ $~x=m$ $, diventa:
$ $~f(m^a) = f(m)^a = (m^b + h)^a.$ $
Sia adesso $ $~a = log_m x, x\in\mathbb{R}^+$ $: allora, $ $~f(x) = (m^b + h)^{log_m x} =: k^{log_m x} = k^{log_m k log_k x} = \left(k^{log_k x}\right)^{log_m k} = x^{log_m k}$ $.
Quindi $ $~f(x) = x^{log_m (m^b + h)}$ $, ma poiche' $ $~f(2) = 2^b$ $, $ $~2^b = 2^{log_m (m^b + h)}$ $, cioe` $ $~m^b = m^b + h$ $, e dunque $ $~h = 0$ $. QED.

Agi_90 ha scritto:questo sporco fisico

Non fare il finto modesto! Non penso che tu sia sporco!