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(i)Dimostrare che dato un sottoinsieme di punti S del piano $ \displaystyle \alpha $, qualsiasi direzione, tranne un numero finito, è trasversa per S, cioè le sue rette incontrano S in alpiù un punto.
Sia ora S definito da un numero pari di elementi.
(ii)Dimostrare che esistono infinite direzioni trasverse tali che contengono una retta che divide $ \displaystyle \alpha $ in due semipiani contenenti lo stesso numero di punti di S.
(iii)Dimostrare che esistono infnite coppie di direzioni ortogonali entrambe trasverse per S e che esistono infiniti sistemi di coordinate ortogonali tali che il numero di punti di S del $ \displaystyle I $ e $ \displaystyle III $ quadrante contengono lo stesso numero di punti di S, così come anche il $ \displaystyle II $ e $ \displaystyle IV $ quadrante.

Precisazione

Direzione = insieme (classe di equivalenza se vogliamo fare i precisini) di rette parallele.

Qualcuno mi spiega il senso del punto (i), e perché non è banalmente falso?

Tibor Gallai ha scritto:Qualcuno mi spiega il senso del punto (i), e perché non è banalmente falso?

S è un insieme finito di punti

E' vero, scusatemi. Il sottoinsieme S ha un numero finito di punti.

Ragazzi, ma a qualcuno sono riusciti i punti 2 e 3? Io ho anche trovato un controesempio, allora ce l'ho messo e mi è servito a dimostrare l'opposto (in entrambi i punti). Penso sia stata la dimostrazione più originale e sbagliata di tutta la storia della Galileiana!

SARLANGA ha scritto:Ragazzi, ma a qualcuno sono riusciti i punti 2 e 3? Io ho anche trovato un controesempio, allora ce l'ho messo e mi è servito a dimostrare l'opposto (in entrambi i punti). Penso sia stata la dimostrazione più originale e sbagliata di tutta la storia della Galileiana!

Ma il punto ii) diceva che, presa una direzione trasversa per S, esisteva una retta di quella direzione che divideva il piano in due semipiani contenenti lo stesso numero di punti...

Come l'hai scritto tu mi pare che non abbia senso. Non è che una direzione divide il piano in due semipiani, semmai una retta.

Il punto due diceva che per ogni direzione non trasversa per S contiene almeno una retta tale che divida il piano in due semipiani conteneti ognuno lo stesso numero di elementi... Almeno di non aver fatto confusione in gara...
EDIT mi ha preceduto Fede90...

Fede90 ha scritto:Ma il punto ii) diceva che, presa una direzione trasversa per S, esisteva una retta di quella direzione che divideva il piano in due semipiani contenenti lo stesso numero di punti...

Fedecart ha scritto:Il punto due diceva che per ogni direzione non trasversa per S contiene almeno una retta tale che divida il piano in due semipiani conteneti ognuno lo stesso numero di elementi... Almeno di non aver fatto confusione in gara...

Mettiamoci d'accordo: la direzione era trasversa o no? Io ho letto trasversa e per questo non mi torna niente...

Non trasversa... Perchè S aveva un numero pari di elementi, e con le trasverse si trovavano controesempi!

Per come mi ricordo io "direzione trasversa", nonostante il nome sinistro che incute timore e fa pensare a qualcosa di zoppo e malfunzionante, indica le direzioni "buone", cioè quelle che non presentano problemi e quindi nelle quali ogni retta contiene al più un punto.
Quindi nel punto (ii) ci si riferisce a direzioni trasverse.

g(n) ha scritto:Per come mi ricordo io "direzione trasversa", nonostante il nome sinistro che incute timore e fa pensare a qualcosa di zoppo e malfunzionante, indica le direzioni "buone", cioè quelle che non presentano problemi e quindi nelle quali ogni retta contiene al più un punto.
Quindi nel punto (ii) ci si riferisce a direzioni trasverse.

Missà che hai ragione...! In ogni caso siamo tutti d'accordo che le buone erano quelle in cui ogni parallela aveva al massimo un punto di S!

Sono dei teoremi classici ed arcinoti anche in ambiente olimpico, sono solo scritti malissimo nel testo. Qui sta la difficoltà dell'esercizio, IMHO. In effetti mi sembra che ci si stia incartando proprio sull'interpretazione del testo.
Tra l'altro, è previsto che una scuola d'eccellenza dia un problema originale e non scopiazzato, all'esame d'ammissione? Verrebbe da dire di no...