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(i)Dimostrare la formula che esprime la somma $ \displaystyle S_n $di n numeri in progressione aritmetica : $ \displaystyle a_0, a_1, ... a_n $
(ii)Considera ora una progressione di numeri dispari consecutivi. Dimostrare che per ogni $ \displaystyle p \ge 2 $, con p intero, si può scrivere $ \displaystyle S_n=a^p $.

P.S.: Sul secondo punto non sono sicuro, correggetemi!

(ii) Dimostrare poi che per ogni intero positivo $ $n $ ed ogni $ $p \geq 2 $ intero la potenza $ $n^p $ si puo' esprimere come somma di $ $n $ numeri dispari (positivi) consecutivi.

Provo la prima parte:

$ S_n=a_0+a_1+a_2+a_3+...+a_n= $
$ =a_0+(a_0+d)+(a_0+2d)+(a_0+3d)+...+(a_0+(n-1)d)= $
$ =a_0 \cdot n + d +2d +3d +...+ (n-1)d= $
$ =a_0 \cdot n + d \cdot \frac{(n-1)n}{2}= $
$ =\frac{1}{2} \cdot n \cdot (2a_0+d(n-1))= $
$ =\frac{1}{2} \cdot n \cdot (a_0+a_0+(n-1)d)= $
$ =\frac{1}{2} \cdot n \cdot (a_0+(a_0+(n-1)d))= $
$ =\frac{1}{2} \cdot n \cdot (a_0+a_n) $

Quindi $ \displaystyle S_n=\frac{1}{2} \cdot n \cdot (a_0+a_n) $

ii) se $ a_n=a_{n-1}+2, $ $ a_0+...+a_n= a_0*n+n(n-1)= n(a_0+n-1) $
quindi $ a_0=n^{p-1}-n+1 $ ci può andar bene.