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Siano $ \displaystyle n $ il numero di lanci di una moneta (testa e croce equiprobabili). Qual è la probabilità di ottenere sia croce che testa? Qual è la probabilità di ottenere alpiù una testa? Per quale valore di $ \displaystyle n $ i due eventi sono indipendenti? (Si ricorda che il prodotto delle probabilità di due eventi $ \displaystyle E_1 $ ed $ \displaystyle E_2 $ indipendenti è uguale alla probabilità dell'intersezione di $ \displaystyle E_1 $ e $ \displaystyle E_2 $)

Vabbè, visto che nessuno ci si cimenta, provo io.
La prima probabilità è $ \displaystyle p_1= \frac {2} {2^n} $ perchè gli unici casi favorevoli sono 2: tutte testa o tutte croce.
La seconda probabilità è $ \displaystyle p_2= \frac {n+1} {2^n} $ perchè abbiamo i $ \displaystyle \binom {50} {1}=50 $ modi di avere una testa ed un modo di ottenere zero testa.
La probabilità di $ \displaystyle E_1 $ intersezione $ E_2 $ è $ \displaystyle p_3= \frac {n} {2^n} $.
Ponendo $ \displaystyle p_1*p_2=p_3 $ si arriva ad un'equazione in $ \displaystyle n $ che ho risolto dividendo in una retta ed un'esponenziale, cioè tra $ \displaystyle y=2n+2 $ e $ \displaystyle y=2^n $. Il risultato mi veniva 3.
Ovviamente, se non vi torna qualcosa o ho saltato dei passi chiedete!

P.S.: come si fa il simbolo intersezione tra insiemi?

SARLANGA ha scritto:P.S.: come si fa il simbolo intersezione tra insiemi?

$ \cap $

Io avevo un $ P_1 $ diverso in gara... Esattamente la probabilità complementare alla tua...! poi, il $ P_2 $ mi da come a te, ma non capisco il tuo ragionamento... Perchè c'è quel 50?

Codice:
\cap

Grazie pak-man.

Io avevo un P_1 diverso in gara... Esattamente la probabilità complementare alla tua...! poi, il P_2 mi da come a te, ma non capisco il tuo ragionamento... Perchè c'è quel 50?

Hai ragione! Ho fatto confusione...Al posto di 50 mettici $ \displaystyle n $ (mi ero messo in testa un numero per semplificare le cose).
Riguardo a $ \displaystyle p_1 $ è giustissimo quello che dici, ho sbagliato a postarlo: $ \displaystyle p_1=1- \frac {2} {2^n} $.

E allora siamo perfettamente d'accordo con i risultati, tutti... Unica cosa ancora non capisco il ragionamento per $ P_2 $ ma vabbè...

beh il $ \displaystyle p_3 $ l'ho calcolato come la probabilità di ottenere contemporaneamente:
1) sia testa che croce;
2) alpiù una testa.
Ora, questi due eventi si verificano insieme quando esce soltanto una testa e $ \displaystyle n-1 $ croci, cioè sono il modo di disporre un oggetto su n spazi, da cui il binomiale.
Spero di essere stato chiaro stavolta...