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se P(x),Q( x),R(x),S(x) sono polinomi tali che:

$ P (x^5)+x Q (x^5)+x^{2} R (x^{5})=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)S(x) $

allora x-1 è un fattore di P(x)

Dai miei calcoli risulta che è addirittura
P(1)=Q(1)=R(1)=0
e dunque i tre polinomi sono tutti divisibili per x-1
Poniamo :

$ \displaystyle P(x)=(x-1)P_1(x)+P(1) $
$ \displaystyle Q(x)=(x-1)Q_1(x)+Q(1) $
$ \displaystyle R(x)=(x-1)R_1(x)+R(1) $

Sostituendo nella relazione data:

$ \displaystyle (x^5-1)P_1(x^5)+P(1)+x(x^5-1)Q_1(x^5)+xQ(1)+x^2(x^5-1)R_1(x^5)+x^2R(1)= $$ \displaystyle (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x) $

Da cui :

( *) $ \displaystyle P(1)+xQ(1)+x^2R(1)=(x^4+x^3+x^2+x+1)\cdot $$ \displaysystyle [S(x)-(x-1)P_1(x^5)-x(x-1)Q_1(x^5)-x^2(x-1)R_1(x^5)] $

Da qui si vede che il polinomio di 2° grado a sinistra dell'eguale nella (*) si annulla
almeno per le quattro radici quinte dell'unità diverse da 1.E dunque ,avendo più radici
del suo grado ,deve essere identicamente nullo,ovvero:

P(1)=Q(1)=R(1)=0
C.V.D.