OliForum Matematico

Trovare tutti gli interi positivi dispari x,y tali che $ 2^x-1 \mid 3^y-1 $

Scusa la domanda ma sono di prima media :cosa intendi per "|"?

E' il simbolo di divide... vuol dire che $ 2^x-1 $ è un divisore di $ 3^y-1 $...
Si può scrivere analogamente $ k(2^x-1)=3^y-1 $ con k intero...

Ah,grazie Fedecart!!

Finora:x=1;e y qualunque...

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

E perche?

@ i mod: non si potrebbe mettere una limitazione agli smile che si possono inserire in un messaggio? sullo stile di Mathlinks..
@ Karlosson: sono i messaggi privati che puoi inviare ad altri utenti. C'è la scritta mp sotto la firma di ogni post.

Scusa,sono un po tonto
L'ho capito solo qualche secondo fa...

karlosson_sul_tetto ha scritto:

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

E perche?

Karlosson, non mi piace per niente che editi i messaggi e non scrivi nulla! Il perchè è tra l'altro evidente, se ti guardi un po in giro: metà dei msg postati in questa sezione sono inutili, i tuoi in primis.

...











Scusa,ma questo forum non è stato anche per imparare?

Spero sia giusta...

Cerco di dimostrare che oltre a x=1 e y qualsiasi non ho altre soluzioni.
Per ogni x dispari ho $ 2^{x-1}\equiv1 \pmod6 $ e $ 3^{y-1}\equiv3 \pmod6 $ Quindi cerco dei numeri naturali a,b tali che $ 6a+1 \mid 6b+3 $ e se esistone delle a,b siffatte allora potrebbero esistere delle soluzioni poiche l'insieme delle soluzioni S dell'equazione iniziale é sottoinsieme dell'insieme W delle soluzioni della seconda equazione. Ma 6b+3 = 3(2b+1) e poiché 6a+1 non divide 3, tranne nel caso a=0 che implica x=1 (gia scritto sopra). Pertanto $ 6a+1 \mid 2b+1 $. Quindi $ k(6a+1)=2b+1 $ per qualche k. Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale. Sviluppo l'equazione che ora diventa:
$ (6n+2b+1)(6a+1)=2b+1 $
$ 36an+6n+12ab+2b+6a+1=2b+1 $
$ 6(6an+n+2ab+a)+(2b+1)=2b+1 $
Quindi, se semplifico da ambo le parti 2b+1 e divido per 6 ottengo:
$ 6an+n+2ab+a=0 $
$ n(6a+1)+a(2b+1)=0 $
Poiché a e b sono naturali ho necessariamente n=0 e a=0, quindi l'unica soluzione è:
$ 2^{x-1}=1 $ quindi x=1 e y qualunque.
CVD

Giuseppe R ha scritto: Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.

...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1)...per esempio $ 5\equiv 13\pmod 2 $, ma 5 non è uguale a 2m+13 se m è naturale.....inoltre neanche le soluzioni che hai dato sono corrette: $ 2^3-1|(3^3+1)\implies 2^3-1|(3^3+1)(3^3-1) $..

Reginald ha scritto:

Giuseppe R ha scritto: Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.

...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1

Ma $ 6a+1 \equiv1 \pmod6 $

@Giuseppe, guarda la tua "dimostrazione": solo dalla relazione 6a+1|2b+1 vorresti dedurre una contraddizione. Ti pare possibile?
@Karlosson: Appunto!!

L'inizio e la fine dei mali personali (jordan) ha scritto:Appunto!

Quindi io ho chiesto per imparare!