$ \displaystyle~0<a<b<c<p $ dice $ \displaystyle~p>3 $, da cui $ \displaystyle~(p,2)=1 $ e $ \displaystyle~(p,3)=1 $.
$ \displaystyle~p\mid a^3-b^3\wedge p\mid b^3-c^3 $ implica $ \displaystyle~p\mid c^3-a^3 $.
$ \displaystyle~0<|a-b|<p $, cioè $ \displaystyle~(p,a-b)=1 $. Ciò, assieme a $ \displaystyle~p\mid (a-b)(a^2+ab+b^2) $, ci dice $ \displaystyle~p\mid a^2+ab+b^2 $ e analogamente $ \displaystyle~p\mid b^2+bc+c^2 $ e $ \displaystyle~p\mid c^2+ca+a^2 $.
Dunque $ \displaystyle~p\mid 2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca=2(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca) $ (*).
Da $ \displaystyle~p\mid a^2+ab+b^2 $ e $ \displaystyle~p\mid b^2+bc+c^2 $ otteniamo $ \displaystyle~p\mid b(a-c)+(a+c)(a-c) $, cioè $ \displaystyle~p\mid (a-c)(a+b+c) $ o, per lo stesso discorso di prima, $ \displaystyle~p\mid a+b+c $.
Ma allora, da $ \displaystyle~a<p\wedge b<p\wedge c<p $ deduciamo $ \displaystyle~p\le (a+b+c) < 3p $, da cui $ \displaystyle~1\le \frac{a+b+c}{p} < 3 $, cioè $ \displaystyle~a+b+c=p $ o $ \displaystyle~a+b+c=2p $.
Da $ \displaystyle~p\mid a+b+c $ abbiamo $ \displaystyle~p\mid 2(a+b+c)^2 $, che tenendo conto della (*) ci dà $ \displaystyle~p\mid 3(ab+bc+ca) $ cioè, essendo $ \displaystyle~(p,3)=1 $, $ \displaystyle~p\mid ab+bc+ca $.
Dunque $ \displaystyle~p\mid (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2 $.
Se $ \displaystyle~a+b+c=p $ segue la tesi, mentre se $ \displaystyle~a+b+c=2p $ allora $ \displaystyle~a+b+c $ è pari, quindi $ \displaystyle~p\mid a^2+b^2+c^2 $ e $ \displaystyle~2\mid a^2+b^2+c^2 $ ovvero, essendo $ \displaystyle~(p,2)=1 $, $ \displaystyle~2p=a+b+c\mid a^2+b^2+c^2 $.
