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Diofantea
Inviato: 24 set 2009, 15:21
da Fedecart
Determinare tutte le coppie di numeri interi che soddisfano l'equazione
$ x^2+3xy-2y^2=122 $
Lasciatelo a chi è alle prime armi! =)
PS Per chi ha il Larson è il problema 3.2.18 a pagina 99
Buon Lavoro!
Inviato: 24 set 2009, 15:40
da karlosson_sul_tetto
Finora:x>=10;Y>=10 e x e y nn sono uguali;poi ci sto un po sopra e rispondo.
P.S.Per favore risposta in bianco.Grazie!
Inviato: 24 set 2009, 19:02
da ndp15
Soluzione (brutta e non in bianco
):
calcolo il delta dell'equazione risolvendo in $ x $
$ \Delta =9y^2+8y^2+488=17y^2+488 $ che deve essere un quadrato altrimenti $ x $ non intera. Impongo $ 17y^2+488=k^2 $ con $ k $ intero. Analizzando modulo $ 17 $ abbiamo che $ k^2\equiv12 (17) $ ma cio' è impossibile perchè $ 12 $ non è un residuo quadratico modulo $ 17 $. Giusta?
Inviato: 24 set 2009, 19:05
da Fedecart
Giusta...!
Re: Diofantea
Inviato: 24 set 2009, 20:34
da jordan
Fedecart ha scritto:Determinare tutte le coppie di numeri interi che soddisfano l'equazione $ x^2+3xy-2y^2=122 $
Nessuna, dato che $ 61 \nmid \text{gcd}(x,y) $ e $ 61 \mid 4 \cdot 122 =(2x+3y)^2-17y^2 $ ma $ (\frac{17}{61})=(\frac{61}{17})=(\frac{10}{17})=(\frac{2}{17})(\frac{5}{17})=(\frac{17}{2})(\frac{17}{5})=(\frac{17}{5})=-1 $.[]