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Sia P un punto interno al triangolo ABC, e siano $ r_1, r_2, r_3 $ le distanze di P dai rispettivi lati $ a_1, a_2, a_3 $
Per quale posizione di P si ha il minimo valore dell'espressione
$ \displystyle\frac{a_1}{r_1}+\frac{a_2}{r_2}+\frac{a_3}{r_3} $?

Buon Lavoro! =)

Siano $ A_1,A_2,A_3 $ i vertici, $ S=[A_1A_2A_3] $ l'area del triangolo e $ p=(a_1+a_2+a_3)/2 $ il semiperimetro. Si ha allora che $ \displaystyle a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=2S $. Grazie alla disuguaglianza HM-AM, si ricava che $ \displaystyle \frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{x_2}+\frac{a_3}{x_3}\ge\frac{a_1+a_2+a_3}{a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3}=\frac{2p}{2S}=\frac{p}{S} $, con l'uguaglianza se e solo se $ \displaystyle x_1=x_2=x_3=r_\text{inscr.}=\frac{S}{p} $ e di conseguenza $ P $ è l'incentro di $ A_1A_2A_3 $.

Insomma, liquidato in 3 righe!
Bella soluzione comunque... Io l'avevo fatto con Cauchy, viene identico...
Qualcuno rilancia?

Rilancio (anche se è identico al precedente). Quale punto $ P $ interno al triangolo minimizza $ \displaystyle \frac1{a_1x_1}+\frac1{a_2x_2}+\frac1{a_3x_3} $?

sfruttando le idee già comparse applico AM-HM e trovo che
$ \displaystyle\frac 1 {a_1x_1}+\frac 1 {a_2x_2}+\frac 1 {a_3x_3}\ge \frac 9 {a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3}=\frac 9 {2A} $ e l'uguaglianza vale se le aree dei tre triangoli sono uguali, ovvero se P è il baricentro