OliForum Matematico

Preso un quadrilatero ciclico $ ABCD $ sia $ E $ l'intersezione di $ AC $ con $ BD $ e sia $ \Gamma $ una circonferenza tangente internamente all'arco $ BC $ (non contenente $ D $) in $ T $ e tangente a $ BE $ e $ CE $. Chiamiamo $ R $ il punto di incontro della bisettrice di $ \angle ABC $ con la bisettrice di $ \angle BCD $ e $ S $ l'incentro di $ BCE $. Dimostrare che $ R $, $ S $ e $ T $ sono allineati.
(Gabriel Giorgieri)

NOOOOOOOOO!!!LA TERZA VOLTA NO!!!



P.S. Qual'era la soluzione?

karlosson adesso basta però questi messaggi sono del tutto inutili...o contribuisci alla risoluzione del problema in modo costruttivo oppure smettila di spammare

Maioc92 ha scritto:karlosson adesso basta però questi messaggi sono del tutto inutili...o contribuisci alla risoluzione del problema in modo costruttivo oppure smettila di spammare

Allora posso dire che sul programma che ho fatto io mi risultava che c'era una situazione in cui R,T e S nn sono allineati,ma nn ne sono prorpio sicuro perché mi sa che ho sbagliato a fare lo schema...

Mossolrak ha scritto:Mi sono iscritto espressamente per prenderti in giro!

Pikachu ha smesso,incomincia un altro...

Dannati felini napoletani!

Karlossom, parlar male di te è abbastanza scontato come parlar male del tg4 o della Salerno-Reggio Calabria.
Però i tuoi messaggi sono fuori luogo in questo forum: troverebberro il contesto ideale nelle tipiche conversazioni che si possono udire alla taverna del Puzzone o all'osteria "Cencio, la parolaccia".

P.s.: lo so perchè sono un assiduo frequentatore .

ma una soluziona la postate??

exodd ha scritto:ma una soluziona la postate??

Come domanda forse sarebbe meglio... "Qualcuno l'ha risolto?" =)

Speriamo che passino di qui Gabriel o jordan...

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 18#1642318

Non costringetemi a leggerla e capirla

Mi scuso per l'off topic che segue, ma sembra indispensabile.

Cari karlosson_sul_tetto e Mossolrak, la politica di moderazione di questo forum non include, di solito, il cancellare i messaggi, ma se continuate così saremo obbligati a farlo. Nei thread di discussione dei problemi è buon senso postare solo interventi strettamente inerenti all'argomento; questa non è una chat, quindi commenti inutili in cui dite di avere sonno, di odiare qualcuno, che vi prude la giunzione omero-sacrale e cose simili sono sgraditi e fastidiosi, perché restano qui, rendendo più difficile ad un lettore il seguire lo svolgersi della discussione sul problema e individuare i post con la soluzione. Finitela, o dovremo prendere provvedimenti.

Haile ha scritto:

exodd ha scritto:ma una soluziona la postate??

Come domanda forse sarebbe meglio... "Qualcuno l'ha risolto?" =)

Se non vado errato, e' un corollario del seguente problema:

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 321&t=6086



Basta applicare DUE VOLTE il risultato "iran99" alla figura in maniera opportuna e si ottiene la tesi.

Ok, parliamone, come si può affrontare un simile problema?
1. Innanzitutto si fa la figura, cercando di capire come si fa a costruirla in poco tempo (poi magari fate solo lo schizzo a matita, ma ponetevi il problema di COME costruire la figura, già che c'è il thread di Tibor Gallai).
Il primo problema che troverete è costruire la circonferenza $ \Gamma $ e questo vi dice che gli angoli che la riguardano (in particolare quelli che permettono di trovare il punto $ T $, grazie al quale costruireste in poco tale circonferenza) saranno probabilmente un casino.
2. Poi è bene notare come graficamente si definiscono i punti che ci interessano; T è un problema come detto, ma what about gli altri due? R è l'intersezione di due bisettrici ed S pure.
S in realtà è l'incentro di ECB, quindi intersezione di 3 bisettrici, due delle quali passano per punti "nobili" quali C e B e una passa per un punto "di servizio" come è E. La scelta cade per forza sulle bisettrici da C e B, visto che poi anche R è individuato da due bisettrici partenti da quei punti.
Ora, più precisamente,
$ S $: intersezione delle bisettrici di $ E\hat{B}C $ e $ E\hat{C}B $ o, riscritto in termini di punti nobili, di $ D\hat{B}C $ e $ A\hat{C}B $.
$ R $: intersezione delle bisettrici di $ A\hat{B}C $ e $ D\hat{C}B $
Oh, maraviglia! Se chiamiamo $ I_1 $ l'incentro di ABC e $ I_2 $ l'incentro di DBC, abbiamo che
$ R=BI_1\cap CI_2 $
$ S=BI_2\cap CI_1 $
R ed S sono quindi legati al quadrilatero $ BCI_2I_1 $ che improvvisamente acquista interesse ai nostri occhi!
3. Ora è il momento di tutte le osservazioni, anche le più stupide, che si possono fare più o meno a caso sulla figura: ad esempio gli angoli.
$ D\hat{B}C=D\hat{A}C $
$ B\hat{C}A=B\hat{D}A $
$ C\hat{B}A=\pi-C\hat{D}A $
$ D\hat{C}B=\pi-D\hat{A}B $
$ C\hat{T}B=\pi-C\hat{A}B $
e poi anche cose del tipo (differenze)
$ R\hat{B}S=R\hat{C}S $
ovvero
$ I_2\hat{B}I_1=I_2\hat{C}I_1 $
ovvero che $ BCI_2I_1 $ è ciclico!
Ma in fondo già si sapeva, no? Il circocentro del triangolo formato dall'incentro e due vertici del triangolo è il punto medio dell'arco di circonferenza circoscritta determinato dai due vertici. Nel nostro caso il circocentro di $ BCI_1 $ è il punto medio dell'arco tra B e C della circonferenza circoscritta ad ABC e quello di $ BCI_2 $ è il punto medio dell'arco tra B e C della circonferenza circoscritta a DBC. Ma queste sono la stessa circonferenza! Quindi il punto medio O dell'arco BC è circocentro comune.
4. Riassumiamo per ora: abbiamo un quadrilatero ciclico $ BCI_2I_1 $, con centro O, di cui intersechiamo le diagonali e una coppia di lati opposti; i due punti risultanti devono essere allineati con il buffo punto T.
Cos'è T, rispetto al quadrilatero o alla circonferenza di centro O? Poco, onestamente...
L'unica cosa che si può notare è che da O passano un po' di bisettrici: ad esempio $ DI_2 $ e $ AI_1 $, ma quindi anche $ TO $ è bisettrice (esterna però) di $ B\hat{T}C $.

Ok, a questo punto, che idee vi vengono?