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Dimostrare che l'inversa di una funzione biiettiva è anch'essa biiettiva.

dato che una funzione biiettiva e' una funzione iniettiva e suriettiva:
funzione: ad ogni punto di X associa un solo punto di Y
iniettiva: punti distinti di X vanno in punti distinti di Y
suriettiva: per ogni punto di Y esiste un punto di X che sia in relazione con esso

la funzione inversa g di una funzione $ ~f: X\to Y $ e' quella che ad ogni punto y di Y associa un punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f

Ergo per le definizioni, l'inversa di una funzione biiettiva e' biiettiva (la suriettivita' di f garantisce la iniettivita' di g, l'iniettivita' di f garantisce che g sia una funzione)

SkZ ha scritto:la suriettivita' di f garantisce la iniettivita' di g

1) f suriettiva mi implica che ad ogni y è associato almeno un x;
mentre:
2) g iniettiva mi implica che 2 y diversi non sono mai associati allo stesso x.
Come fa la 1) a giustificare la 2)??? Magari l'hai già spiegato ma non ho capito...

non dimenticare che se f e' una funzione ergo tutte le x hanno una loro immagine.
Il problema qui e' se parliamo di relazione inversa che e' una funzione biiettiva o di funzione inversa che e' biiettiva.
Nel secondo caso la g per definizione associa ad ogni y un solo x e questo impone la suriettivita' e l'iniettivita' di f (diciamo che la suriettivita' l'avevo introdotta per nulla).

Se parliamo di relazione inversa, innanzi tutto ci serve che g sia una funzione ergo definita su tutto Y. Questo e' fornito dalla suriettivita' di f.
Ora e' necessario che sia associato ad un y un solo x e questo e' fornito dall'iniettivita' di f.

Ora f e' pure la funzione inversa di g, ergo g e' iniettiva e suriettiva.

Visto che è proprio facile, cerchiamo almeno di essere formali e non buttare lì parole senza giustificazione precisa, eh! Una funzione $ f: A \to B $ si dice iniettiva se per ogni $ x_1,x_2 \in A $ si ha che $ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 $. Significa in altre parole che un elemento di $ B $ può essere immagine al più di un elemento di $ A $ (provate a formalizzare anche questa affermazione).

Si dice suriettiva (o surgettiva) se per ogni $ y \in B $ esiste $ x \in A $ tale che $ y=f(x) $. Significa che tutti gli elementi di $ B $ sono immagini di un qualche elemento di $ A $. Attenzione sempre ai quantificatori!

Si dice biunivoca (o bigettiva) se è sia iniettiva che surgettiva.

Se la mia $ f $ è bigettiva, allora è ben definita la sua inversa $ f^{-1} : B \to A $. Vediamo perché. Cosa vogliamo che faccia questa funzione inversa? Fissato un elemento $ y \in B $, per surgettività di $ f $ abbiamo che esiste $ x \in A $ tale che $ y=f(x) $. A me piacerebbe che l'inversa mandasse $ y $ in questo $ x $, ma a priori potrebbe andarmi male, perché se un tale $ x $ non fosse unico, non potrei definire una funzione. Ma siamo tranquilli che tutto funziona, perché l'iniettività di $ f $ assicura l'unicità di tale $ x $ (provate a verificarlo!). Dunque la mia $ f^{-1} $ è effettivamente definita.

È intuitivo che debba essere bigettiva essa stessa. Ma vogliamo dimostrarlo formalmente. Dunque dobbiamo verificare per bene iniettività e surgettività, tenendo presenti le definizioni.

1) Iniettività: fisso $ y_1, y_2 \in B $. Suppongo che $ f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2) $. Questo cosa significa? Significa che (ricordiamo come è stata definita la funzione inversa!), scrivendo $ y_1=f(x_1) $ e $ y_2=f(x_2) $, ho che $ x_1 = x_2 $. Ma allora, poiché $ f $ è una funzione, posso senz'altro affermare che $ f(x_1)=f(x_2) $, cioè $ y_1=y_2 $, come si voleva.

2) Surgettività: fisso $ x \in A $ e ragiono così. Posso senz'altro applicare la $ f $, e ovviamente $ f(x) \in B $ (attenzione: $ f(x) $ è davvero un elemento dell'insieme $ B $ ed è l'immagine di $ x $; spesso si è indotti a confusione per colpa di affermazioni fuorvianti tipo "la funzione $ f(x) $). Ma, sempre per definizione di funzione inversa, ho direttamente che $ f^{-1}(f(x)) = x $. E dunque, per definizione di funzione suriettiva (riguardare e convincersi!) ho concluso.

Ani-sama ha scritto:Visto che è proprio facile, cerchiamo almeno di essere formali e non buttare lì parole senza giustificazione precisa, eh!

Formalissimo e non buttato parole a caso. Il fatto che non uso relazioni di equivalenza non vuol dire che non sia giusto

SkZ ha scritto:dato che una funzione biiettiva e' una funzione iniettiva e suriettiva:
funzione: ad ogni punto di X associa un solo punto di Y
iniettiva: punti distinti di X vanno in punti distinti di Y
suriettiva: per ogni punto di Y esiste un punto di X che sia in relazione con esso

la funzione inversa g di una funzione $ ~f: X\to Y $ e' quella che ad ogni punto y di Y associa un punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f

posso riscriverla piu' chiara.
Una relazione $ ~f:X\to Y $ si dice funzione se associa ad ogni punto di X un solo punto di Y

Dimostriamo che:
se la relazione inversa di una funzione $ ~f:X\to Y $ e' una funzione, allora f e' iniettiva e suriettiva ergo biiettiva.
Se la relazione inversa g di f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X, ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y, ergo f e' iniettiva.

Ora dimostriamo che:
la relazione inversa di una funzione biiettiva $ ~f:X\to Y $ e' una funzione.
Una funzione:
1) e' definita su tutti i punti: questo e' garantito dalla suriettivita' di f
2) associa un solo punto ad un elemento: questo e' garantito dalla iniettivita' di f.

Finito, poiche' f (funzione biiettiva) e' pure la relazione inversa di una funzione g e f e' una funzione.

Ho solo sistemato quanto gia' detto.

Attento che per indicare una funzione non va bene il "\mapsto" in TeX. Si scrive $ f: A \to B $, $ x \mapsto f(x) $, cioè quella freccia si usa per dire dove va a finire l'elemento $ x $

gia' \to e basta. a essere sinceri non ho manco guardato molto che veniva fuor, infatti all'inizio veniva fuori niente perche' il primo comando usato era inesistente (\map)
correggiamo!

SkZ ha scritto:posso riscriverla piu' chiara.[...]

In ogni caso, non mi riesce convincente nemmeno questa tua riscrittura. Intanto, non ho capito cosa tu intenda con "relazione inversa", anche se mi sono fatto un'idea. Faresti meglio a specificarlo. E comunque:

SkZ ha scritto:Se la relazione inversa g di f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X, ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y, ergo f e' iniettiva.

Qui hai semplicemente scritto le definizioni e poi le tesi, collegandole con "questo significa che". A me, parlo personalmente, non sembra una "dimostrazione" fatta con i dovuti crismi. In altre parole: è vero che queste affermazioni di cui ci stiamo occupando sono "ovvie", però nella loro "ovvietà" vanno dimostrate. E per dimostrare qualcosa non c'è altro modo che scrivere tutti i passaggi per bene, cosa che non mi sembra di riscontrare in ciò che hai scritto. O forse come fai tu è giusto, però non riesco a convincermene, ecco.

Ani-sama ha scritto:1) Iniettività: fisso $ y_1, y_2 \in B $. Suppongo che $ f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2) $. Questo cosa significa? Significa che (ricordiamo come è stata definita la funzione inversa!), scrivendo $ y_1=c $ e $ y_2=f(x_2) $, ho che $ x_1 = x_2 $. Ma allora, poiché $ f $ è una funzione, posso senz'altro affermare che $ f(x_1)=f(x_2) $, cioè $ y_1=y_2 $, come si voleva.

Sei stato in tutto chiarissimo e formalissimo! Solo non ho capito questo passaggio. Per caso hai fatto questo ragionamento?:
Considerando quanto detto in precedenza sull'iniettività di $ \displaystyle f(x) $, si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $ da cui $ \displaystyle y_1=y_2 $.
Anche se non è formale e preciso, è questo quello che intendevi?
Grazie

a dire il vero io non capisco il senso di tutto ciò....la funzione inversa $ f^{-1} $di una funzione $ f $ è bigettiva nel dominio della funzione per definizione, a prescindere dalla suriettività di $ f $. Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa

Maioc92 ha scritto:Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa

condizione necessaria, ma non sufficiente

SARLANGA ha scritto:[...]Considerando quanto detto in precedenza sull'iniettività di $ \displaystyle f(x) $, si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $ da cui $ \displaystyle y_1=y_2 $.
Anche se non è formale e preciso, è questo quello che intendevi?
Grazie

No, non direi. Cioè, quando dici:

SARLANGA ha scritto:si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $

dici una cosa vera, ma da lì (poiché è vera per ipotesi l'uguaglianza) concludi che $ x_1=x_2 $. Per "ricatturare" $ y_1 $ e $ y_2 $, che è ciò che importa, devi applicare di nuovo la $ f $.

PS: osservazione di carattere notazionistico. Dire "la funzione $ f(x) $ può essere fuorviante, perché a rigore $ f(x) $ è l'immagine di $ x \in A $ quindi è un elemento di $ B $. Meglio scrivere semplicemente "la funzione $ f $".

***

Maioc92 ha scritto:a dire il vero io non capisco il senso di tutto ciò....la funzione inversa $ f^{-1} $di una funzione $ vf $ è bigettiva nel dominio della funzione per definizione, a prescindere dalla suriettività di $ f $. Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa

No, ti sbagli. La funzione inversa di una data funzione $ f $ esiste se e solo se la funzione di partenza è bigettiva.

Asisama, se una funzione e' un caso particolare di relazione, ergo la relazione inversa e' il caso piu' generale di funzione inversa.
La relazione inversa di una relazione $ ~r: X\to Y $ e' la relazione che associa ad un punto di Y i punti di X che sono in relazione con esso tramite r.
Cmq senza questa definizione non puoi nemmeno definire la funzione inversa, inquanto mi hai chiesto di definire l'inversione di una relazione.

Ammetto che avevo dimenticato di scrivere che f e' una funzione.
Se la relazione inversa g di una funzione f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X (g e' definita su tutto Y in quanto funzione), ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y (a un y e' associato un solo x, ergo non esistono due punti di X che sono associati allo stesso y), ergo f e' iniettiva.

Avevo sottointeso solo cose ovvie, proprie della definizione. Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.

Ani-sama ha scritto: No, ti sbagli. La funzione inversa di una data funzione $ f $ esiste se e solo se la funzione di partenza è bigettiva.

si giusto...chiedo venia, mi ero proprio confuso