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dimostrare che:

$ \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\geq \sqrt[3]{abc} $


$ \frac{a+b+c}{3} \geq\sqrt[3]{abc} $

è vera per AM-GM ma come faccio a dimostrare l'altra parte?

È esattamente la disuguaglianza di McLaurin.

Volendo le prime si possono dimostrare così:

$ $\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} $
$ 3(a+b+c)^2\ge9(ab+bc+ca) $
$ $\frac{3}{2}\sum_{sym}a^2+3\sum_{sym}ab\ge\frac{9}{2}\sum_{sym}ab $
$ $\frac{3}{2}\sum_{sym}a^2\ge\frac{3}{2}\sum_{sym}ab $
che è vera per bunching

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$ $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\ge\sqrt[3]{abc} $
$ (ab+bc+ca)^3\ge27a^2b^2c^2 $
$ $\frac{1}{2}\sum_{sym}a^3b^3+3\sum_{sym}a^3b^2c+\sum_{sym}a^2b^2c^2\ge\frac{9}{2}\sum_{sym}a^2b^2c^2 $
$ $\sum_{sym}a^3b^3+6\sum_{sym}a^3b^2c\ge7\sum_{sym}a^2b^2c^2} $
che è vera per bunching

più semplicemente
$ (a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca) $
$ a^2+b^2+c^2\ge {ab+bc+ca} $
vera per riarrangiamento
$ \frac{ab+bc+ca}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2} $
vera per AM-GM