OliForum Matematico

$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.

Prima che qualcuno dica che sembra un compito a casa, dico già da subito che ha ragione xD. Solo che nè io nè la mia professoressa siamo riusciti a risolverla (tra l'altro l'ha inventata lei) senza usare le derivate, quindi chiedo aiuto qui


edit: modificato il testo su richiesta di jordan

tramite le medie 1/3-esime, abbiamo
$ LHS\le2\sqrt[3]{36} $
per x reali

1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate

@Exodd, ok, ma non credo sia quella la richiesta.
@Veluca, definito f(x) il membro di sinistra, allora per ogni e>0 esiste un v reale che per ogni x>v vale f(x)<e..per cui

Veluca ha scritto:$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.

Ok, ora ha senso. Definiamo $ f(\cdot):\mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \to \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{72-x} $ siano $ a_1,a_2,\ldots $ tutti e i soli numeri reali tali che $ f(a_i)=6 $ per ogni $ i $ (a priori non sai nemmeno se tale sequenza è numerabile). Allora, per ogni $ i $, vale $ 6^3=f^3(a_i)=6^2 \cdot 2 + 3 f(a_i) \sqrt[3]{a_i(72-a_i)} $ cioè $ a_i(72-a_i) $ è una costante fissata. Ciò mostra che $ i \le 2 $. Per verificare che $ i $ è esattamente $ 2 $ è sufficiente notare che $ f(x)=f(72-x) $ e che $ f(2^3)=6 $. Inoltre $ f(0)>6 $ e la funzione $ f(\cdot) $ è continua, per cui $ x \in \mathbb{R} $ verifica $ f(x) \ge 6 $ se e solo se $ x \in [2^3,2^6] $. []

Beh, in realtà andrebbe anche escluso che fuori dall'intervallo non sia ancora maggiore di 6, cmq non è un enorme problema, basta calcolarne il valore in punti abbastanza grandi in modulo...

Veluca ha scritto:1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate

Prova ad usare la scomposizione della somma di due cubi, per risolvere l'equazione associata.

Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo .. sapete com'è a scuola no?

Veluca ha scritto:Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo .. sapete com'è a scuola no?

non capisco. Cerchi un metodo elementare per risolvere il problema e dici che l'elevazione al cubo o la scomposizione della somma di cubi non va bene?

perche'?

PS
io non so "com'e' (adesso) a scuola"

Una soluzione elementare potrebbe fondarsi sulla formula:
$ \displaystyle (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v) $
Nel caso nostro ,elevando al cubo l'intera disequazione,si ha:
$ \displaystyle 72+3\sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 216 $
Oppure:
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 48 $
Poiché la somma dei due radicali deve essere non inferiore a 6, si può porre :
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2} \ge 8 $
Da cui,elevando di nuovo al cubo, si trae facilmente la soluzione $ -28\le x \le +28 $
Naturalmente si può obiettare che vi sono infinite combinazioni possibili di valori
ma questa mi sembra quella minima...tenuto conto della inequazione iniziale.

@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $

@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.

kn ha scritto:@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.

bella soluzione!!!A me non era venuta in mente
@karl:ma sei sicuro che quel metodo funzioni??Forse sono io che non ho capito ma mi restano dei dubbi

No,non va bene .Occorrerebbero delle limitazioni : prendila come un tentativo..poco riuscito !!

Veluca ha scritto:@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $

In effetti il mio suggerimento non prevede cose molto complicate. Chiamando (per brevita' di scrittura) A e B le due radici cubiche, dobbiamo risolvre A+B = 6.

Ma A^3 + B^3 = 72

e quindi

(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3 = 6 (A^2-AB+B^2) = (A+B)^2 -3AB.

Da queste si ha che AB = 8 cioe' x=+/- 28.

A questo punto sappiamo che la funzione f(x)=A+B-6 attraversa l'asse x solo in questi due punti. Notando che per x molto grande in valore assoluto, f(x) e' negativa e che per x=0 e' positiva si ah che f(x)>0 per i valori di x in (-28, +28).


PS

Questa soluzione avrebbe tra laltro il avntaggio di far fare riflessioni sulla continuita' e d'intorni e non solo una mera applicazioni di algoritmi risolutivi.