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dimostrare che non possono esistere due interi positivi r e k tali che:
$ r ^{2100}+2100!=21^k $

Se ho tempo dopo, la scrivo per bene.
Comunque idea 1: analizzare il tutto mod 21 e trarre le dovute conclusioni su r.
Idea 2: isolare il fattoriale e vedere che non è divisibile per una potenza "abbastanza" grande di 21, a differenza dell'altra parte dell'equazione.
Come al solito nei miei messaggi, probabile siano incluse cazzate

danielf ha scritto:Mostrare che non esiste $ (r,k) \in \mathbb{N}_0^2 $ tale che $ r ^{2100}+2100!=21^k $

Se $ (\upsilon_p(x)-\upsilon_p(y))^2>0 $ per qualche $ (x,y) \in \mathbb{Z}_0^2 $ allora $ \upsilon_p(x+y)=\min\{\upsilon_p(x),\upsilon_p(y)\} $, altrimenti $ \upsilon_p(x+y) \ge \upsilon_p(x) $. Dato che $ 2100 \mid \text{gcd}(\upsilon_3(21^k-2100!),\upsilon_7(21^k-2100!)) $, ma $ \max\{\upsilon_3(2100!),\upsilon_7(2100!)\}<2100 $ allora a forza $ \upsilon_3(2100!)=\upsilon_3(21^k)=k=\upsilon_7(21^k)=\upsilon_7(2100!) $, che è falso.[]

non avendo capito 1 mazza di quello che ha scritto jordan, più che altro a causa della simbologia (v_p e gdc cosa sono??Il gcd l'ho visto abbastanza spesso nelle tue soluzioni ma ancora non ho capito cos'è) posto la mia soluzione, che avevo omesso di scrivere sperando che si facesse avanti qualcuno di diverso dai soliti noti per provare a risolvere il problema (tra l'altro non capisco perchè le iscrizioni sono in aumento ma quelli che scrivono sono in diminuzione...mah).
Poichè $ 21|2100! $ e $ 21|21^k $ ($ k\ge 1 $) allora $ 21|r^{2100} $. Ma 21 è prodotto di 2 primi distinti,quindi $ 21|r $, cioè $ r=21n $ con $ n\in\mathbb Z^+ $. A questo punto notiamo che se fosse k<2100 avremmo $ LHS>(21n)^{2100}\ge 21^{2100}>21^k=RHS $, assurdo. Ma allora $ 2100!=21^k-(21n)^{2100} $ con $ k\ge 2100 $. E' ovvio che $ 21^{2100}|RHS $ ma $ 21^{2100} $ non divide $ 2100! $, il che è assurdo

E' in pratica la stessa cosa
Comunque, per definire le notazioni:
$ \text{gcd}() $ è il massimo comune divisore
$ \text{lcm}() $ è il minimo comune multiplo
$ \upsilon_p() $ è la valutazione p-adica
$ \text{gpf}() $ è il massimo fattore primo
$ \text{lpf}() $ è il piccolo fattore primo
$ \vdots $ significa "è diviso da"
$ \mid $ significa "divide"
$ \phi_i(\cdot) $ è l'i-esimo polinomio ciclotomico
$ \mathbb{N} $ è l'insieme degli interi non negativi
$ \mathbb{N}_0 $ è l'insieme degli interi positivi
$ \mathbb{Z} $ è l'insieme degli interi
$ \mathbb{Q} $ è l'insieme dei razionali
$ \mathbb{R} $ è l'insieme dei reali
$ \mathbb{C} $ è l'insieme dei complessi
$ \in $ significa "appartiene"
$ \text{Re}(x) $ è la parte reale di $ x \in \mathbb{C} $
$ \text{Im}(x) $ è la parte immaginaria di $ x \in \mathbb{C} $
$ \text{sgn}(x) $ è la funzione segno (1 se positivo, -1 se negativo, 0 altrimenti)
$ \left(\frac{a}{b}\right) $ è il simbolo di Legendre
$ \mu() $ è la funzione di Moebius
$ \text{rad}(x) $ è il prodotto dei primi distinti di x

Maioc92 ha scritto: Ma 21 è prodotto di 2 primi distinti,quindi $ 21|r $

scusa l'idiozia ma perchè puntualizzi il fatto che essendo prodotto di 2primi distinti allora divide r?

Ma allora $ 2100!=21^k-(21n)^{2100} $ con $ k\ge 2100 $. E' ovvio che $ 21^{2100}|RHS $ ma $ 21^{2100} $ non divide $ 2100! $, il che è assurdo

non capisco perchè scrivi il 2100! in quel modo,e come fai a passare prima dal LHS>(21n)^2100>=(21)^2100

danielf ha scritto:[scusa l'idiozia ma perchè puntualizzi il fatto che essendo prodotto di 2primi distinti allora divide r?

Se hai che $ x \mid y^n $ per qualche $ x,y,n $ interi positivi e $ \text{rad}(x)=x $ allora $ x \mid y $ non ti pare?

jordan ha scritto:

danielf ha scritto:[scusa l'idiozia ma perchè puntualizzi il fatto che essendo prodotto di 2primi distinti allora divide r?

Se hai che $ x \mid y^n $ per qualche $ x,y,n $ interi positivi e $ \text{rad}(x)=x $ allora $ x \mid y $ non ti pare?

ehm sì...

grazie jordan per l'elenco dei simboli, finalmente non ho più dubbi a riguardo
P.S:allora il gcd non è altro che l'mcd...allora ti diverti a complicare le cose

Non è che voglio complicare le cose, ma prova a leggere un libro o una dispensa che non sia in italiano

Maioc92 ha scritto:grazie jordan per l'elenco dei simboli, finalmente non ho più dubbi a riguardo
P.S:allora il gcd non è altro che l'mcd...allora ti diverti a complicare le cose

io purtroppo qualche altro dubbio ce l'ho...non è che potresti spiegarmi quella cosa che ho chiesto prima sul LHS>21n^2100 e il resto?

Metti che k<2100. Allora $ 21^k<21^{2100} $. Ora, per quello che hai chiesto prima, sai che r è un intero positivi multiplo di 21, quindi è almeno 21. Quindi $ r^{2100} $ è almeno $ 21^{2100} $. Quindi può esistere un intero positivo h tale che $ r^{2100}+h=21^k $?

jordan ha scritto:Metti che k<2100. Allora $ 21^k<21^{2100} $. Ora, per quello che hai chiesto prima, sai che r è un intero positivi multiplo di 21, quindi è almeno 21. Quindi $ r^{2100} $ è almeno $ 21^{2100} $. Quindi può esistere un intero positivo h tale che $ r^{2100}+h=21^k $?

intendi tenendo conto che K<2100 e che $ r^{2100} $ è almeno $ 21^{2100} $?
tenendo conto di queste due cose,direi di no

Ok, allora sarai anche d'accordo che Maioc92 ha concluso correttamente la sua dimostrazione

danielf ha scritto:dimostrare che non possono esistere due interi positivi r e k tali che:
$ r ^{2100}+2100!=21^k $

Non si potrebbe più semplicemente considerare l'equazione modulo 21??

$ r^{2100} \equiv 1 \pmod {21} $ dato che $ a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m $

$ 2100! \equiv 0 \pmod {21} $

$ 21^k \equiv 0 \pmod {21} $

Quindi l'equazione è impossibile
jordan vuole solamente far sembrare difficili le cose facili...naturalmente skerzo...ma anche no!